🎲 Калькулятор стохастичних процесів

Вінерівський процес, пуассонівський процес, стохастичні диференціальні рівняння та симуляції

📈 Вінерівський процес (Броунівський рух)

Моделювання стандартного вінерівського процесу W(t) з властивостями: W(0)=0, незалежні прирости, нормальний розподіл.

dW(t) ~ N(0, dt)
W(t) - W(s) ~ N(0, t-s) для t > s
З дрейфом: X(t) = μt + σW(t)

⚡ Пуассонівський процес

Лічильний процес N(t) з незалежними приростами та пуассонівським розподілом.

P(N(t) = k) = (λt)^k × e^(-λt) / k!
E[N(t)] = λt, Var(N(t)) = λt
Час між подіями ~ Exp(λ)

💹 Геометричний броунівський рух

Модель Блека-Шоулза для цін активів. S(t) завжди позитивне.

dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dW(t)
S(t) = S₀ × exp((μ - σ²/2)t + σW(t))
E[S(t)] = S₀ × e^(μt)

Розподіл кінцевих цін:

🔄 Процес Орнштейна-Уленбека

Стаціонарний гауссівський процес з поверненням до середнього (mean-reversion).

dX(t) = κ(θ - X(t))dt + σdW(t)
E[X(t)] = θ + (X₀ - θ)e^(-κt)
Var(X(t)) = σ²(1 - e^(-2κt))/(2κ)
Half-life = ln(2)/κ

📊 Стохастичні диференціальні рівняння

Чисельне розв'язання СДР методами Ейлера-Маруями та Мільштейна.

dX(t) = μ(X,t)dt + σ(X,t)dW(t)

Ейлера-Маруями: X_{n+1} = X_n + μΔt + σΔW
Мільштейна: X_{n+1} = X_n + μΔt + σΔW + ½σσ'(ΔW² - Δt)

📚 Теорія стохастичних процесів

1. Вінерівський процес (броунівський рух)

Вінерівський процес W(t) — базовий неперервний стохастичний процес з незалежними гауссівськими приростами.

Властивості:

  • W(0) = 0 (початок з нуля)
  • Незалежні прирости: W(t) - W(s) незалежний від W(u), u ≤ s
  • Нормальний розподіл: W(t) - W(s) ~ N(0, t-s)
  • Неперервні траєкторії (майже напевно)
  • Траєкторії недиференційовні (майже напевно)
E[W(t)] = 0
Var(W(t)) = t
Cov(W(s), W(t)) = min(s,t)
Квадратична варіація: [W,W]_t = t

2. Стохастичний інтеграл Іто

∫₀ᵗ f(s)dW(s) = lim Σf(tᵢ)(W(tᵢ₊₁) - W(tᵢ))

Властивості:
E[∫fdW] = 0
E[(∫fdW)²] = E[∫f²dt] (ізометрія Іто)

3. Лема Іто

Правило диференціювання функцій від стохастичних процесів.

Якщо dX = μdt + σdW, то для f(X,t):

df = (∂f/∂t + μ∂f/∂x + ½σ²∂²f/∂x²)dt + σ∂f/∂x dW

4. Пуассонівський процес

Лічильний процес N(t) для моделювання дискретних подій.

Характеристика Формула
Ймовірність k подій P(N(t)=k) = (λt)ᵏe⁻ˡᵗ/k!
Математичне сподівання E[N(t)] = λt
Дисперсія Var(N(t)) = λt
Час між подіями Exp(λ)

5. Геометричний броунівський рух

Стандартна модель для цін активів (завжди позитивні).

dS = μSdt + σSdW

Розв'язок: S(t) = S₀exp((μ-σ²/2)t + σW(t))

ln(S(t)/S₀) ~ N((μ-σ²/2)t, σ²t)
E[S(t)] = S₀eᵘᵗ
Var(S(t)) = S₀²e²ᵘᵗ(eᵟ²ᵗ - 1)

6. Процес Орнштейна-Уленбека

Єдиний стаціонарний гауссівський марківський процес.

dX = κ(θ - X)dt + σdW

Розв'язок: X(t) = θ + (X₀-θ)e⁻ᵏᵗ + σ∫₀ᵗe⁻ᵏ⁽ᵗ⁻ˢ⁾dW(s)

E[X(t)] = θ + (X₀-θ)e⁻ᵏᵗ
Var(X(t)) = σ²(1-e⁻²ᵏᵗ)/(2κ)
Стаціонарна дисперсія: σ²/(2κ)

7. Чисельні методи

Ейлера-Маруями:

Xₙ₊₁ = Xₙ + μ(Xₙ,tₙ)Δt + σ(Xₙ,tₙ)ΔWₙ
де ΔWₙ ~ N(0,Δt)
Сильна збіжність: O(√Δt)

Мільштейна:

Xₙ₊₁ = Xₙ + μΔt + σΔW + ½σσ'(ΔW² - Δt)
де σ' = ∂σ/∂x
Сильна збіжність: O(Δt)

8. Застосування

  • Фінанси: модель Блека-Шоулза, ціноутворення опціонів
  • Фізика: дифузія частинок, статистична механіка
  • Біологія: динаміка популяцій, генетичний дрейф
  • Інженерія: фільтрація сигналів, керування системами
  • Відсоткові ставки: модель Vasicek, CIR

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Інструменти даного типу широко застосовуються у навчальній та дослідницькій діяльності. Вони дозволяють швидко отримувати точні числові результати, перевіряти аналітичні розрахунки та моделювати різноманітні сценарії. Використання онлайн-калькуляторів значно прискорює роботу науковців, інженерів, студентів та спеціалістів-практиків, які щодня стикаються з відповідними обчислювальними задачами.

Часті запитання (FAQ)

Що таке хімічна рівновага?
Хімічна рівновага — стан системи, при якому швидкості прямої та зворотної реакцій рівні, і склад системи не змінюється з часом (в умовах незмінних зовнішніх умов). Рівновага описується константою рівноваги Kc або Kp. За принципом Ле-Шательє, зміна умов (температура, тиск, концентрація) зміщує рівновагу в бік, що компенсує цю зміну.
Як відрізнити кислоту від основи?
За теорією Бренстеда-Лоурі: кислота — донор протона (H⁺), основа — акцептор протона. За Арреніусом: кислота дисоціює з утворенням H⁺, основа — OH⁻. Кількісно кислотність оцінюється показником pH: pH < 7 — кисле середовище, pH = 7 — нейтральне, pH > 7 — лужне. Визначають за допомогою індикаторів або pH-метра.
Як користуватися цим калькулятором?
Введіть необхідні значення у відповідні поля та натисніть кнопку обчислення. Результат відобразиться одразу. Калькулятор підтримує десяткові числа та від'ємні значення — для введення від'ємного числа використовуйте знак мінус. Усі розрахунки виконуються онлайн без встановлення додаткового програмного забезпечення.
Чи можна використовувати калькулятор безкоштовно?
Так, усі калькулятори на сайті calculator.party повністю безкоштовні. Жодна реєстрація не потрібна — просто відкрийте сторінку та починайте обчислення. Калькулятори доступні 24/7 і працюють у будь-якому сучасному браузері на комп'ютері, планшеті або смартфоні.
Яка точність обчислень калькулятора?
Калькулятор використовує 64-бітну арифметику з плаваючою точкою (стандарт IEEE 754), що забезпечує точність до 15–16 значущих цифр. Для більшості практичних задач цього більш ніж достатньо. Результати округлюються до 4–6 значущих цифр для зручності читання.

📁 Категорія: Математика

📚 Читайте також: Стохастичні процеси: броунівський рух, процес Пуассона, ланцюги Маркова, мартингали