∫ МатематикаСередній рівень

Математичний аналіз

Структурована програма університетського курсу: від границь і неперервності до рядів Тейлора та числових рядів

120
годин навчання
8
модулів
1–2
курс університету
Алгебра
попередня підготовка

Програма курсу

Модуль 1
Границі та неперервність
📚 12 тем⏱ 15 год
⊕
  • Означення границі функції (ε–δ визначення)
  • Основні теореми про границі (арифметика границь)
  • Другий чудовий ліміт: lim(1+1/n)ⁿ = e
  • Перший чудовий ліміт: lim(sin x)/x = 1
  • Нескінченно малі та нескінченно великі функції
  • Неперервність функції і точки розриву
  • Теорема Вєєрштрасса та теорема Больцано-Коші
  • Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей 0/0, ∞/∞
Модуль 2
Диференціальне числення (1 змінна)
📚 18 тем⏱ 22 год
⊕
  • Означення похідної як границі відношення приростів
  • Геометричний зміст похідної (тангенс кута нахилу)
  • Таблиця похідних: степені, exp, log, sin, cos, tg, ctg
  • Правила диференціювання: сума, добуток, частка, ланцюгове правило
  • Диференціювання складної та оберненої функції
  • Похідна вищих порядків. Правило Лейбніца для n-ої похідної добутку
  • Теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коші
  • Дослідження функції: монотонність, екстремуми, опуклість, перегини
  • Асимптоти графіку функції (горизонтальні, вертикальні, похилі)
Модуль 3
Інтегральне числення
📚 20 тем⏱ 25 год
⊕
  • Первісна і невизначений інтеграл. Таблиця стандартних інтегралів
  • Правила інтегрування: лінійність, метод підстановки
  • Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du
  • Інтегрування раціональних функцій (розклад на прості дроби)
  • Інтегрування тригонометричних виразів
  • Визначений інтеграл Рімана. Теорема Ньютона-Лейбніца
  • Застосування визначеного інтеграла: площа, об'єм тіла обертання, довжина дуги
  • Невласні інтеграли 1-го і 2-го роду. Ознаки збіжності
Модуль 4
Ряди
📚 15 тем⏱ 18 год
⊕
  • Числові ряди: визначення, часткові суми, збіжність
  • Геометричний ряд: Σqⁿ = 1/(1−q) при |q|<1
  • Ознаки збіжності: Д'Аламбера, Коші, порівняльна
  • Знакозмінні ряди. Теорема Лейбніца
  • Степеневі ряди. Радіус і проміжок збіжності
  • Ряд Тейлора та Маклорена для eˣ, sin x, cos x, ln(1+x)
  • Застосування рядів: наближені обчислення, розкриття невизначеностей
Модуль 5–8
Функції кількох змінних (2-й курс)
📚 30 тем⏱ 40 год
⊕
  • Функції двох і більше змінних. Часткові похідні
  • Диференціал функції кількох змінних. Повний диференціал
  • Екстремуми функцій двох змінних. Умовні екстремуми (метод Лагранжа)
  • Подвійні і потрійні інтеграли. Заміна змінних (полярні, циліндричні, сферичні координати)
  • Криволінійні та поверхневі інтеграли 1-го і 2-го роду
  • Теореми Гріна, Стокса, Гауса-Остроградського
  • Числові та функціональні ряди з кількох змінних
  • Рівняння в частинних похідних (хвильове, теплопровідності, Лапласа)

Ключові теореми курсу

Теорема Ньютона-Лейбніца
∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a)
Зв'язок між диференціальним і інтегральним численням
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f'/g'
При невизначеностях 0/0 або ∞/∞
Формула Тейлора
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x−a)ⁿ
Розклад функції в степеневий ряд
Теорема Лагранжа
f(b)−f(a) = f'(c)·(b−a)
Існує c∈(a,b) де похідна дорівнює середньому приросту

Ресурси для вивчення

📘
Демидович — збірник задач
Класичний збірник із тисячами задач з усіх розділів мат. аналізу
🎥
3Blue1Brown — Essence of Calculus
Візуальне пояснення суті похідних та інтегралів — найкраще у мережі
🏫
MIT 18.01 — Single Variable Calculus
Безкоштовний курс МІТ на OpenCourseWare з лекціями та задачами
🧮
Khan Academy — Calculus
Інтерактивні задачі з миттєвим зворотнім зв'язком українською
Розв'язані задачі: похідні → Розв'язані задачі: інтеграли → Шпаргалка: похідні → ↩ Усі курси

Про цей курс

Цей навчальний матеріал систематично розкриває тему від основ до просунутих концепцій. Курс орієнтований на самостійне навчання з практичним акцентом.

Курс охоплює: границі і неперервність, диференціальне числення (похідна, диференціал), інтегральне числення (невизначений і визначений інтеграл), ряди та рівняння.

План навчання

Проходьте матеріал послідовно, не пропускаючи розділів. Виконуйте практичні вправи після кожного блоку. Повертайтеся до складних частин після засвоєння наступних розділів.

Часті запитання (FAQ)

Що вивчається в курсі з математичний аналіз?
Курс 'Математичний аналіз' систематично охоплює тему від основ до просунутих концепцій. Зміст включає теоретичні блоки, формули з поясненнями, практичні приклади та задачі для закріплення. Матеріал структурований за принципом наростаючої складності.
Який попередній рівень знань потрібен для курсу з математичний аналіз?
Курс 'Математичний аналіз' розрахований на студентів, що вже мають базову математичну підготовку. Якщо ви лише починаєте — рекомендуємо спочатку ознайомитися зі вступними матеріалами у відповідних категоріях calculator.party.
Скільки часу займає проходження курсу з математичний аналіз?
Орієнтовний час для проходження курсу 'Математичний аналіз': 4–8 годин для базового рівня, 10–20 годин для повного засвоєння разом із задачами. Рекомендуємо розбити на сесії по 45–60 хвилин з перервами між ними.
Чи є практичні завдання в курсі з математичний аналіз?
Так, курс 'Математичний аналіз' включає практичні блоки: задачі для розв'язання, тести для перевірки розуміння та посилання на онлайн-калькулятори calculator.party для чисельних прикладів. Теорія завжди підкріплена практикою.
Яка структура і порядок вивчення матеріалів курсу з математичний аналіз?
Рекомендований порядок для 'Математичний аналіз': (1) теорія → (2) шпаргалка з формулами → (3) тренажер вправ → (4) розв'язані задачі → (5) підсумковий тест. Такий шлях забезпечує глибоке і стійке засвоєння матеріалу.