🪐 Третій закон Кеплера
Квадрат орбітального періоду пропорційний кубу великої піввісі орбіти. У повній ньютонівській формі коефіцієнт пропорційності 4π²/(GM) залежить від маси M центрального тіла, навколо якого відбувається обертання.
📖 Формула та параметри
Спрощена форма Кеплера (Сонячна система, а.о. та роки)
Ця пряма пропорційна форма — саме те, що Йоганн Кеплер сформулював 1619 року на основі спостережень Тіхо Браге. Вона справедлива тільки для тіл, що обертаються навколо Сонця, коли період вимірюється в роках, а велика піввісь — в астрономічних одиницях (1 а.о. = середня відстань Земля–Сонце ≈ 149 597 870 км). Маса Сонця (M☉ ≈ 1.989×10³⁰ кг) у цих одиницях "захована" всередині коефіцієнта пропорційності, тому явно в формулі не з'являється.
Загальна ньютонівська форма
- T (Period) — час одного повного оберту навколо центрального тіла
- a (semi-major axis) — велика піввісь еліптичної орбіти (для кола збігається з радіусом)
- G — гравітаційна стала, G ≈ 6.674 × 10⁻¹¹ м³·кг⁻¹·с⁻²
- M — маса тіла, навколо якого відбувається обертання (припускається M набагато більшою за масу супутника, що обертається)
Ця форма виводиться з другого закону Ньютона, прирівнюючи гравітаційну силу F=GMm/r² до доцентрової сили, необхідної для кругового (або еліптичного) руху. Вона застосовна до будь-якої системи "центральне тіло — супутник": планета–Сонце, місяць–планета, штучний супутник–Земля, екзопланета–зоря.
Перевірка T²=a³ на реальних даних Сонячної системи
| Планета | a (а.о.) | a³ | T спостережуваний (роки) | √a³ (передбачення) |
|---|---|---|---|---|
| Земля | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 |
| Марс | 1.524 | 3.540 | 1.881 | 1.881 |
| Юпітер | 5.203 | 140.85 | 11.86 | 11.87 |
Розбіжність в останньому рядку (11.86 проти 11.87) — це похибка округлення на четвертому знаку, а не порушення закону: реальні орбіти планет — еліпси зі слабким збуренням від інших планет, тому спостережувані значення можуть відрізнятись від ідеального T²=a³ на соті частки відсотка.
🌌 Історичний контекст: три закони Кеплера
Місце третього закону серед законів Кеплера
- Перший закон — орбіти планет є еліпсами з Сонцем в одному з фокусів.
- Другий закон — радіус-вектор планети "замітає" рівні площі за рівні проміжки часу (закон площ).
- Третій закон — T² ∝ a³ для всіх планет Сонячної системи, тема цієї сторінки.
Усі три закони спочатку були емпіричними — виведеними з астрономічних спостережень, а не з фізичної теорії. Лише через ~70 років Ісаак Ньютон показав, що вони є прямим математичним наслідком закону всесвітнього тяжіння та другого закону механіки для задачі двох тіл.
✏️ Приклади
📌 Приклад 1: Період обертання Марса (спрощена форма)
T² = a³ = 1.524³
1.524³ = 1.524 × 1.524 × 1.524 = 2.3226 × 1.524 ≈ 3.540
T = √3.540 ≈ 1.881 року
📌 Приклад 2: Гіпотетична екзопланета (спрощена форма)
T² = a³ = 4³ = 64
T = √64 = 8 років
📌 Приклад 3: Перевірка через загальну ньютонівську форму
a³ = (1.496×10¹¹)³ ≈ 3.348×10³³ м³
4π² ≈ 39.478
GM = 6.674×10⁻¹¹ × 1.989×10³⁰ ≈ 1.3275×10²⁰ м³·с⁻²
T² = (39.478 × 3.348×10³³) / 1.3275×10²⁰ ≈ 1.3221×10³⁵ / 1.3275×10²⁰ ≈ 9.96×10¹⁴ с²
T = √(9.96×10¹⁴) ≈ 3.156×10⁷ с
Переводимо в роки: 3.156×10⁷ с ÷ 3.156×10⁷ с/рік ≈ 1.00 року
🎯 Застосування
🔭 Пошук екзопланет
За зміною блиску зорі (транзитний метод) визначають період обертання T екзопланети, а третій закон Кеплера дозволяє обчислити велику піввісь її орбіти a, якщо відома маса зорі-господаря.
🛰️ Проєктування орбіт супутників
Для геостаціонарного супутника (T = 23 год 56 хв, синхронно з обертанням Землі) закон Кеплера з M = маса Землі дозволяє точно розрахувати потрібний радіус орбіти (≈ 42 164 км від центру Землі).
⭐ Визначення мас подвійних зір
Спостерігаючи період обертання T та велику піввісь відносної орбіти a двох зір, астрономи знаходять сумарну масу системи M = 4π²a³/(GT²) — один з небагатьох прямих методів вимірювання мас зір.
🚀 Планування космічних місій
Розрахунок перехідних орбіт (наприклад, орбіти Гомана) між планетами використовує третій закон Кеплера для визначення часу перельоту та енергетичних витрат місії.
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Небесна механіка описує рух тіл під дією гравітації — від планет і місяців до штучних супутників та екзопланет.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Для спрощеної форми T²=a³ пам'ятайте про обмеження (лише навколо Сонця, роки та а.о.); для загальної форми перевіряйте, що всі величини виражені в узгоджених одиницях СІ.