∫ Інтегральне числення

Таблиця інтегралів

Повна довідкова таблиця невизначених інтегралів і методи інтегрування

Стандартні інтеграли

Функція∫ f(x) dxРезультат
∫ xⁿ dxn ≠ −1xⁿ⁺¹ / (n+1) + C
∫ x⁻¹ dx= ∫ 1/x dxln|x| + C
∫ 1 dxКонстантаx + C
∫ √x dx= ∫ x^(1/2) dx(2/3)·x^(3/2) + C
∫ 1/√x dx= ∫ x^(-1/2) dx2√x + C
∫ 1/x² dx= ∫ x⁻² dx−1/x + C
Функціяf(x)∫ f(x) dx
Показникова eˣeˣeˣ + C
Показникова aˣaˣaˣ / ln a + C
Натур. логарифмln xx·ln x − x + C
Функціяf(x)∫ f(x) dx
Синусsin x−cos x + C
Косинусcos xsin x + C
Тангенсtg x−ln|cos x| + C
Котангенсctg xln|sin x| + C
1/sin²xcosec²x−ctg x + C
1/cos²xsec²xtg x + C
Функціяf(x)∫ f(x) dx
1/(1+x²)Арктангенсarctg x + C
1/√(1−x²)Арксинусarcsin x + C
1/(x²−a²)1/(2a)·ln|(x−a)/(x+a)| + C
1/(a²+x²)(1/a)·arctg(x/a) + C
1/√(a²−x²)arcsin(x/a) + C
1/√(x²±a²)ln|x + √(x²±a²)| + C

Методи інтегрування

Метод підстановки (заміни змінної)
∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(t) dt
  • Обираємо t = g(x)
  • Знаходимо dt = g'(x)dx
  • Інтегруємо ∫f(t)dt
  • Повертаємо x (підставляємо t = g(x))
Приклад: ∫ 2x·cos(x²)dx
t=x², dt=2x·dx → ∫cos(t)dt = sin(t) = sin(x²) + C
Інтегрування частинами
∫ u·dv = u·v − ∫ v·du
  • Вибираємо u і dv = v'dx
  • Знаходимо du і v
  • Підставляємо у формулу
  • Правило LIATE: Log, Inverse trig, Algebraic, Trig, Expo
Приклад: ∫ x·eˣdx
u=x, dv=eˣdx → x·eˣ − ∫eˣdx = (x−1)eˣ + C
Часткові дроби
P(x)/Q(x) = A/(x−a) + B/(x−b) + ...
  • Розкладаємо знаменник
  • Записуємо часткові дроби
  • Знаходимо коефіцієнти
  • Інтегруємо кожен доданок окремо
Приклад: ∫ 1/(x²−1)dx = ∫ [A/(x−1) + B/(x+1)]dx
Тригонометрична підстановка
√(a²−x²): x = a·sin(t)
  • √(a²−x²): x = a sin t
  • √(a²+x²): x = a tg t
  • √(x²−a²): x = a/cos t
Спрощує інтеграли з підкореневими виразами вигляду a²±x²
💡 Визначений інтеграл: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), де F'(x) = f(x). Геометрично — площа під графіком від a до b (зі знаком)

Формули зведення

ІнтегралРезультат через стандартний
∫ sin²x dxx/2 − sin(2x)/4 + C
∫ cos²x dxx/2 + sin(2x)/4 + C
∫ tg²x dxtg x − x + C
∫ sin³x dx−cos x + cos³x/3 + C
∫ eˣ·sin x dxeˣ(sin x − cos x)/2 + C
← Таблиця похідних Фізичні константи → ↩ Усі інфографіки

Про цю інфографіку

Ця інфографіка візуалізує ключові концепції теми у зручному форматі. Візуальне сприйняття інформації покращує запам'ятовування та розуміння взаємозв'язків між поняттями.

Математичний аналіз формує фундамент для всіх галузей природничих і технічних наук.

Як читати цю інфографіку

Почніть з центральної концепції та рухайтесь до деталей. Зверніть увагу на кольорове кодування та підписи. Збережіть або роздрукуйте для повторення перед іспитом.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор інтегралів 🧮 Калькулятор інтегралів онлайн 📋 Таблиця інтегралів — Основні формули

Часті запитання (FAQ)

Що відображає ця інфографіка з таблиця інтегралів?
Інфографіка наочно показує ключові концепції теми 'Таблиця інтегралів': взаємозв'язки між поняттями, порівняльні характеристики та ієрархію ідей. Візуальний формат полегшує запам'ятовування складного матеріалу.
Для кого призначена ця інфографіка?
Інфографіка про 'Таблиця інтегралів' корисна для студентів (підготовка до іспитів), викладачів (ілюстрація матеріалу) та всіх, хто хоче структурувати знання або отримати швидкий огляд теми.
Як ця інфографіка допомагає краще зрозуміти таблиця інтегралів?
Дослідження показують: одночасна обробка тексту і графіки підвищує засвоєння на 65% порівняно з лише текстом. Ця інфографіка структурує 'Таблиця інтегралів' так, що ключові ідеї видно одразу і між ними легко простежити зв'язки.
Які концепції з таблиця інтегралів найважливіші для запам'ятовування?
Відповідно до цієї інфографіки, ядро теми 'Таблиця інтегралів' складають ключові визначення, базові формули та типові методи. Їх розуміння є необхідним для переходу до складніших аспектів теми.
Де ще можна знайти матеріали з таблиця інтегралів на calculator.party?
На calculator.party для теми 'Таблиця інтегралів' доступні: онлайн-калькулятори (миттєві розрахунки), навчальні статті, шпаргалки з формулами, тренажери вправ та розв'язані задачі — увесь комплект для повноцінного вивчення теми.