ℂ Математика • Комплексний аналіз

Комплексний аналіз — розв'язані задачі

6 задач: формула Ейлера, умови Коші–Рімана, теорема Коші, лишки, інтеграли, конформне відображення

ℂ Комплексні числа та формула Ейлера
Задача 1 Формула Ейлера та тригонометрична форма
а) Запишіть z = 1 + i в показниковій формі. б) Обчисліть (1+i)⁸ за допомогою теореми Де Муавра. в) Доведіть, що e^(iπ) + 1 = 0.
а) Показникова форма z = r·e^(iφ)
r = |z| = √(1² + 1²) = √2
φ = arctan(1/1) = π/4
z = √2 · e^(iπ/4)
б) Теорема Де Муавра: zⁿ = rⁿ·e^(inφ)
(1+i)⁸ = (√2)⁸ · e^(i·8·π/4) = 16 · e^(i·2π) = 16·1 = 16
в) Формула Ейлера: e^(ix) = cos x + i sin x
e^(iπ) = cos(π) + i·sin(π) = −1 + i·0 = −1
∴ e^(iπ) + 1 = 0 ∎

Тотожність Ейлера поєднує п'ять фундаментальних сталих: e, i, π, 1, 0.

Відповідь
z = √2·e^(iπ/4); (1+i)⁸ = 16; e^(iπ)+1 = 0 ✓
Задача 2 Умови Коші–Рімана та аналітичність
Перевірте аналітичність функції f(z) = z² в точці z₀ = 1+i. Знайдіть f'(z₀).
f(z) = z² = (x+iy)² = (x²−y²) + 2xyi
u(x,y) = x² − y² v(x,y) = 2xy
Умови Коші–Рімана: ∂u/∂x = ∂v/∂y і ∂u/∂y = −∂v/∂x
∂u/∂x = 2x; ∂v/∂y = 2x ✓ −∂u/∂y = 2y; ∂v/∂x = 2y ✓

Умови виконуються скрізь → f(z) = z² аналітична у всій комплексній площині (ціла функція).

Похідна: f'(z) = ∂u/∂x + i·∂v/∂x = 2x + i·2y = 2z
f'(z₀) = 2·(1+i) = 2 + 2i
Відповідь
f(z) = z² аналітична скрізь; f'(1+i) = 2+2i
∮ Інтеграли та теорема Коші
Задача 3 Теорема Коші та інтегральна формула
Обчисліть ∮_C z² dz, де C — квадрат з вершинами ±1, ±i (обхід проти годинникової стрілки). Потім обчисліть ∮_C e^z/(z−0) dz по одиничному колу |z|=1.
Частина а): z² — аналітична функція всередині C

За основною теоремою Коші: якщо f аналітична в просто зв'язній області D і C⊂D, то ∮_C f(z)dz = 0.

∮_C z² dz = 0 (бо z² аналітична)
Частина б): Інтегральна формула Коші
∮_C f(z)/(z−z₀) dz = 2πi · f(z₀) (z₀ всередині C)
∮_C e^z/(z−0) dz = 2πi · e⁰ = 2πi · 1 = 2πi
Відповідь
а) 0; б) 2πi
Задача 4 Лишки та теорема лишків
Обчисліть ∮_C dz/[(z²+1)] по контуру |z|=2 (проти год. стр.). Знайдіть усі полюси і їх лишки.
Розкладання знаменника
z² + 1 = (z−i)(z+i) Полюси 1-го порядку: z₁ = i та z₂ = −i

Обидва полюси лежать всередині |z|=2, бо |i|=|−i|=1 < 2.

Лишки у простих полюсах: Res f(z₀) = lim_{z→z₀} (z−z₀)·f(z)
Res_{z=i} [1/(z²+1)] = lim_{z→i} (z−i)/[(z−i)(z+i)] = 1/(i+i) = 1/(2i) = −i/2
Res_{z=−i} [1/(z²+1)] = 1/(−i−i) = 1/(−2i) = i/2
Теорема лишків: ∮_C f(z)dz = 2πi · Σ Res
∮ dz/(z²+1) = 2πi · (−i/2 + i/2) = 2πi · 0 = 0

Лишки скорочуються, і результат = 0. Це пов'язано з тим, що 1/(z²+1) → 0 на великому колі.

Відповідь
Res(i) = −i/2; Res(−i) = i/2; ∮ = 0
Задача 5 Дійсний інтеграл за допомогою теореми лишків
Обчисліть дійсний інтеграл I = ∫₋∞^∞ dx/(x²+1) за допомогою контурного інтегрування.
Вибір контуру: замикаємо у верхній напівплощині Im(z) ≥ 0

Контур C = відрізок [−R, R] + дуга γ_R (верхня). При R→∞: інтеграл по дузі → 0 (лема Жордана).

∮_C dz/(z²+1) = ∫₋∞^∞ dx/(x²+1) + lim_{R→∞} ∫_{γR} ... = I + 0 = I
Полюс у верхній напівплощині: z = i (тільки один)
Res_{z=i} [1/(z²+1)] = −i/2
I = 2πi · Res_{z=i} = 2πi · (−i/2) = 2πi·(−i)/2 = 2π·(1)/2 = π
Відповідь
∫₋∞^∞ dx/(x²+1) = π
Задача 6 Ряд Лорана і класифікація особливих точок
Знайдіть ряд Лорана для f(z) = sin(z)/z³ в точці z = 0. Визначте тип особливої точки і лишок.
Ряд Маклорена: sin(z) = z − z³/3! + z⁵/5! − …
sin(z)/z³ = (z − z³/6 + z⁵/120 − …)/z³ = z⁻² − 1/6 + z²/120 − z⁴/5040 + …
Аналіз ряду Лорана Σ aₙzⁿ

Головна частина (член з від'ємними степенями): лише a₋₂·z⁻² — один член з від'ємним степенем, a₋₁ = 0.

Тип: полюс 2-го порядку у z = 0
Лишок: Res_{z=0} [sin(z)/z³] = a₋₁ = 0

Лишок = коефіцієнт при z⁻¹ = 0 (чого б ні — ряд Лорана підтверджує).

Відповідь
Полюс 2-го порядку в z=0; Res = 0; ряд: z⁻² − 1/6 + z²/120 − …
🔢 Теорія чисел 💻 Теорія інформації 📐 Диф. рівняння 🌊 Ряди Фур'є 📚 Усі задачі

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з комплексний аналіз демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Комплексний аналіз': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з комплексний аналіз представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з комплексний аналіз найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок комплексний аналіз містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з комплексний аналіз допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Комплексний аналіз' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.