∂ Диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння

5 розв'язаних задач: відокремлення змінних, однорідні, лінійні 1-го порядку, Бернуллі, ДР 2-го порядку

Класифікація та методи

Основні типи ДР 1-го порядку
З відокремлюваними зміннимиf(y)dy = g(x)dx → інтегруємо
Одноріднеy' = f(y/x); заміна y = vx
Лінійне 1-го порядкуy' + P(x)y = Q(x); інтегруючий множник
Рівняння Бернулліy' + P(x)y = Q(x)·yⁿ; заміна z = y^(1-n)
Лінійне 2-го порядку (с.к.)ay'' + by' + cy = 0; хар. рівняння ar²+br+c=0
Задача 1 — Відокремлення змінних
Розв'язати: y' = x·y, y(0) = 2
Задача Коші:знайти y(x) із початковою умовою
Крок 1: Записуємо dy/dx = xy, відокремлюємо змінні
dy/y = x dx
Крок 2: Інтегруємо обидві частини
∫ dy/y = ∫ x dx
ln|y| = x²/2 + C₁
|y| = e^(x²/2 + C₁) = e^C₁ · e^(x²/2)
y = C · e^(x²/2), C = ±e^C₁
Крок 3: Підставляємо початкову умову y(0) = 2
2 = C · e⁰ = C · 1 → C = 2
Відповідь: y = 2·e^(x²/2). При x=1: y(1) = 2e^(0,5) ≈ 3,30
💡 Це рівняння описує ріст із швидкістю, пропорційною x·y — наприклад, деяких хімічних реакцій із змінною концентрацією.
Задача 2 — Однорідне диференціальне рівняння
Розв'язати: y' = (x + y) / x
Метод:заміна y = vx
Крок 1: Перевіряємо однорідність і робимо заміну y = vx
y' = (x + y)/x = 1 + y/x = 1 + v
y = vx → y' = v'x + v (правило добутку)
Крок 2: Підставляємо
v'x + v = 1 + v
v'x = 1 → v' = 1/x → dv/dx = 1/x
Крок 3: Інтегруємо і повертаємось до y
v = ln|x| + C
y = vx = x(ln|x| + C) = x·ln|x| + Cx
Відповідь: y = x·ln|x| + Cx (загальний розв'язок)
Задача 3 — Лінійне ДР 1-го порядку
Розв'язати: y' − (2/x)y = x²
Форма:y' + P(x)y = Q(x), де P=−2/x, Q=x²
Крок 1: Знаходимо інтегруючий множник μ = e^(∫P dx)
∫P dx = ∫(−2/x)dx = −2·ln|x| = ln(x⁻²)
μ = e^(ln x⁻²) = x⁻² = 1/x²
Крок 2: Множимо рівняння на μ = 1/x²
y'/x² − 2y/x³ = 1
d/dx(y/x²) = 1 (ліва частина — похідна добутку μ·y)
Крок 3: Інтегруємо
y/x² = x + C
y = x²(x + C) = x³ + Cx²
Відповідь: y = x³ + Cx². При C=0: y = x³ (часткове рішення)
Задача 4 — Рівняння Бернуллі
Розв'язати: y' + y = y³ (рівняння Бернуллі, n=3)
Форма:y' + P(x)y = Q(x)·yⁿ, заміна z = y^(1−n)
Крок 1: Заміна z = y^(1−3) = y⁻²
z = y⁻² → z' = −2y⁻³·y'
→ y' = −y³·z'/2
Крок 2: Ділимо вихідне рівняння на y³
y'/y³ + y/y³ = 1 → y'/y³ + y⁻² = 1
Замінюємо y⁻² = z; y'/y³ = −z'/2:
−z'/2 + z = 1 → z' − 2z = −2
Крок 3: Лінійне рівняння z' − 2z = −2
μ = e^(−2x); d/dx(z·e^(−2x)) = −2e^(−2x)
z·e^(−2x) = e^(−2x) + C → z = 1 + Ce^(2x)
Крок 4: Повертаємось: z = y⁻²
y⁻² = 1 + Ce^(2x) → y² = 1/(1 + Ce^(2x))
y = ±1/√(1 + Ce^(2x))
Відповідь: y = ±1/√(1 + Ce^(2x)). Тривіальний розв'язок: y ≡ 0.
💡 Рівняння Бернуллі описує логістичний ріст популяцій, поширення інфекцій, деякі нелінійні електричні кола.
Задача 5 — Лінійне ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами
Розв'язати: y'' − 5y' + 6y = 0
Метод:характеристичне рівняння r² − 5r + 6 = 0
Крок 1: Розв'язуємо характеристичне рівняння
r² − 5r + 6 = 0
D = 25 − 24 = 1; r₁ = (5+1)/2 = 3; r₂ = (5−1)/2 = 2
Крок 2: Два різних дійсних корені → загальний розв'язок
y = C₁·e^(r₁x) + C₂·e^(r₂x)
y = C₁·e^(3x) + C₂·e^(2x)
Крок 3: Перевірка (y'' − 5y' + 6y = 0)
y' = 3C₁e^(3x) + 2C₂e^(2x)
y'' = 9C₁e^(3x) + 4C₂e^(2x)
(9−15+6)C₁e^(3x) + (4−10+6)C₂e^(2x) = 0 ✓
Відповідь: y = C₁e^(3x) + C₂e^(2x). При комплексних коренях r = α±βi → e^(αx)·(C₁cos(βx)+C₂sin(βx)). При кратних r₁=r₂ → (C₁+C₂x)e^(r₁x).
💡 ДР 2-го порядку описує коливання, електричні контури (RLC), механіку пружини-маси-демпфера.
← Комплексні числа ← Інтеграли ↩ Усі задачі

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Розв'язані задачі з математичного аналізу показують стандартні техніки: диференціювання неявних функцій, обчислення площ та об'ємів тіл обертання, дослідження збіжності рядів.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з диференціальні рівняння демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Диференціальні рівняння': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з диференціальні рівняння представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з диференціальні рівняння найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок диференціальні рівняння містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з диференціальні рівняння допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Диференціальні рівняння' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор диференціальних рівнянь 🧮 Калькулятор диференціальної геометрії 💪 Тренажер: Диференційні рівняння 💪 Диференціальна Геометрія — Кривина, Геодезичні, Тензори 📖 Диференціальні рівняння: повний посібник з прикладами 📖 Диференціальна геометрія: криві, поверхні, кривина Гаусса, геодезичні, теорема Гаусса-Боне