ℂ Комплексні числа

Задачі: комплексні числа

5 розв'язаних задач: алгебраїчна і тригонометрична форми, ділення, формула Муавра, корені n-го ступеня

Ключові формули

Форми комплексного числа z
Алгебраїчнаz = a + bi, Re(z)=a, Im(z)=b
Тригонометричнаz = r(cos φ + i·sin φ), r=|z|, φ=arg(z)
Показникова (Ейлер)z = r·e^(iφ), e^(iπ) = −1
Модуль|z| = √(a²+b²)
Аргументφ = arctan(b/a) (з урахув. квадранту)
Формула Муавраzⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i·sin(nφ))
Корені n-го ступеняzₖ = r^(1/n)·e^(i(φ+2πk)/n), k=0..n-1
Задача 1 — Операції з комплексними числами
Обчислити: (3 + 4i)(1 − 2i) та |z₁·z₂|
Дано:z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 − 2i
Крок 1: Множення (розкриваємо дужки)
(3+4i)(1−2i) = 3·1 + 3·(−2i) + 4i·1 + 4i·(−2i)
= 3 − 6i + 4i − 8i²
Крок 2: Замінюємо i² = −1
= 3 − 6i + 4i − 8·(−1) = 3 + 8 + (−6+4)i = 11 − 2i
Крок 3: Модуль добутку
|z₁·z₂| = |11 − 2i| = √(121 + 4) = √125 = 5√5
Перевірка: |z₁|·|z₂| = √(9+16)·√(1+4) = 5·√5 ✓
Відповідь: z₁·z₂ = 11 − 2i; |z₁·z₂| = 5√5 ≈ 11,18
Задача 2 — Ділення комплексних чисел
Обчислити (2 + 3i) ÷ (1 + i) в алгебраїчній формі
Метод:Множення на спряжений дільника
Крок 1: Множимо чисельник і знаменник на спряжений (1 − i)
(2+3i)/(1+i) = (2+3i)(1−i) / [(1+i)(1−i)]
Крок 2: Знаменник
(1+i)(1−i) = 1 − i² = 1 + 1 = 2
Крок 3: Чисельник
(2+3i)(1−i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + 3 + i = 5 + i
Крок 4: Результат
(5 + i) / 2 = 5/2 + (1/2)i = 2,5 + 0,5i
Відповідь: (2+3i)/(1+i) = 2,5 + 0,5i
💡 При діленні завжди множимо на спряжений знаменника: (a−bi) для (a+bi). Знаменник стає дійсним: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
Задача 3 — Тригонометрична форма і формула Муавра
Знайти (1 + i)⁸ за формулою Муавра
Метод:Перевести в тригонометричну форму, потім застосувати Муавра
Крок 1: Знаходимо r і φ для z = 1 + i
r = |1+i| = √(1+1) = √2
φ = arctan(1/1) = π/4 (I квадрант)
z = √2·(cos(π/4) + i·sin(π/4))
Крок 2: Формула Муавра: zⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i·sin(nφ))
z⁸ = (√2)⁸·(cos(8·π/4) + i·sin(8·π/4))
= 2⁴·(cos(2π) + i·sin(2π))
= 16·(1 + 0·i) = 16
Відповідь: (1+i)⁸ = 16 (чисто дійсне число)
💡 Формула Муавра ідеально підходить для великих степенів. Без неї треба ітеративно множити 7 разів!
Задача 4 — Корені n-го ступеня
Знайти всі кубічні корені з числа z = −8
Знайти:всі z, де z³ = −8
Крок 1: Переводим −8 в тригонометричну форму
−8 = 8·(cos(π) + i·sin(π))
r = 8, φ = π
Крок 2: Формула коренів: zₖ = r^(1/3)·(cos((φ+2πk)/3) + i·sin((φ+2πk)/3))
r^(1/3) = 8^(1/3) = 2
Крок 3: k=0,1,2 → три кореня
k=0: z₀ = 2(cos(π/3) + i·sin(π/3)) = 2(1/2 + i·√3/2) = 1 + i√3
k=1: z₁ = 2(cos(π) + i·sin(π)) = 2·(−1 + 0) = −2
k=2: z₂ = 2(cos(5π/3) + i·sin(5π/3)) = 2(1/2 − i·√3/2) = 1 − i√3
Відповідь: z₀ = 1+i√3; z₁ = −2; z₂ = 1−i√3. Перевірка: (−2)³ = −8 ✓. Корені рівновіддалені на 2π/3 на комплексній площині.
Задача 5 — Формула Ейлера і показникова форма
Записати z = −1 − i√3 у показниковій формі та обчислити z¹⁰
Дано:z = −1 − i√3
Крок 1: Модуль і аргумент
r = √(1 + 3) = 2
Точка (−1;−√3) — III квадрант
φ_ref = arctan(√3/1) = π/3; φ = π + π/3 = 4π/3
Крок 2: Показникова форма
z = 2·e^(i·4π/3)
Крок 3: z¹⁰ у показниковій формі
z¹⁰ = 2¹⁰ · e^(i·10·4π/3) = 1024 · e^(i·40π/3)
40π/3 mod 2π: 40/3 = 13 цілих + 1/3 → φ = 2π/3
z¹⁰ = 1024·(cos(2π/3) + i·sin(2π/3)) = 1024·(−1/2 + i·√3/2)
= −512 + 512i√3
Відповідь: z = 2e^(i·4π/3); z¹⁰ = −512 + 512i√3
💡 Формула Ейлера: e^(iφ) = cos φ + i·sin φ. При φ=π: e^(iπ) + 1 = 0 — найкрасивіша формула математики!
Диф. рівняння → ← СЛАР ↩ Усі задачі

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Геометрія — інструмент для опису форм і просторових відношень у реальному світі.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з задачі демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Задачі': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з задачі представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з задачі найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок задачі містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з задачі допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Задачі' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.