📊 Розв'язані задачі • Ряди Фур'є

Ряди Фур'є: розв'язані задачі

Коефіцієнти Фур'є, прямокутна хвиля, пилоподібна, теорема Парсеваля, комплексний запис — покроково

Задача 1
Розклад прямокутної хвилі у ряд Фур'є
Знайти ряд Фур'є функції: f(x) = 1 при 0 < x < π, f(x) = −1 при −π < x < 0, з T = 2π.
Крок 1. Коефіцієнти a₀ та aₙ
a₀ = (1/π)·∫_{-π}^{π} f(x)dx = (1/π)·[(-π до 0: −1) + (0 до π: 1)] = 0 aₙ = (1/π)·∫ f(x)·cos(nx)dx = 0 (f — непарна, cos — парна → добуток непарний → інтеграл 0)
Крок 2. Коефіцієнти bₙ
bₙ = (1/π)·∫_{-π}^{π} f(x)·sin(nx)dx = (2/π)·∫₀^{π} sin(nx)dx = (2/π)·[−cos(nx)/n]₀^{π} = (2/πn)·(1 − cos(nπ)) = (2/πn)·(1 − (−1)ⁿ)
При n парному: bₙ = 0. При n непарному: bₙ = 4/(πn).
Крок 3. Ряд Фур'є
f(x) = (4/π)·[sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ...] = (4/π)·Σ_{n=1,3,5,...} sin(nx)/n
Або: f(x) = (4/π)·Σ_{k=0}^{∞} sin((2k+1)x)/(2k+1)
Таблиця перших гармонік
n13579
bₙ4/π≈1.2734/(3π)≈0.4244/(5π)≈0.2554/(7π)≈0.1824/(9π)≈0.141
✅ Відповідь: f(x) = (4/π)·Σ sin((2k+1)x)/(2k+1), k=0,1,2,… (лише непарні гармоніки)
Задача 2
Ряд Фур'є пилоподібної хвилі: f(x) = x, x ∈ (−π, π)
Знайти ряд Фур'є функції f(x) = x на інтервалі (−π, π), T = 2π.
Крок 1. Парність функції
f(x) = x — непарна функція: f(−x) = −x = −f(x)
Отже a₀ = 0 та aₙ = 0 (інтеграли непарної × парна = 0). Лишається тільки sinусна частина.
Крок 2. Коефіцієнти bₙ
bₙ = (1/π)·∫_{-π}^{π} x·sin(nx)dx = (2/π)·∫₀^{π} x·sin(nx)dx Інтегруємо частинами: u=x, dv=sin(nx)dx → [−x·cos(nx)/n]₀^π + ∫ cos(nx)/n dx = (2/π)·{−π·cos(nπ)/n + [sin(nx)/n²]₀^π} = (2/π)·{−π·(−1)ⁿ/n + 0} bₙ = (2/π)·(−1)^{n+1}·π/n = 2·(−1)^{n+1}/n
Крок 3. Ряд Фур'є
f(x) = x = 2·[sin(x)/1 − sin(2x)/2 + sin(3x)/3 − sin(4x)/4 + ...] = 2·Σ_{n=1}^{∞} (−1)^{n+1}·sin(nx)/n
Перевірка при x = π/2
π/2 = 2·[sin(π/2) − sin(π)/2 + sin(3π/2)/3 − ...] = 2·[1 − 0 − 1/3 + 0 + 1/5 − ...] = 2·π/4 ✓
Підставляючи x=π/2, отримуємо формулу Лейбніца: π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ...
✅ Відповідь: f(x) = x = 2·Σ (−1)^{n+1}·sin(nx)/n, n=1,2,3,… (при x=π/2 → формула Лейбніца)
Задача 3
Теорема Парсеваля: обчислення ряду через f²
Використовуючи ряд Фур'є для f(x) = x на (−π, π), обчислити суму ряду Σ 1/n².
Крок 1. Теорема Парсеваля (рівність Парсеваля)
(1/π)·∫_{-π}^{π} |f(x)|² dx = a₀²/2 + Σ (aₙ² + bₙ²)
Норма функції дорівнює сумі квадратів коефіцієнтів Фур'є (Енергетична тотожність).
Крок 2. Ліва частина (інтеграл від x²)
∫_{-π}^{π} x² dx = 2·∫₀^{π} x² dx = 2·[x³/3]₀^π = 2π³/3 ∴ (1/π)·(2π³/3) = 2π²/3
Крок 3. Права частина (aₙ=0, bₙ=2(−1)^{n+1}/n)
Σ bₙ² = Σ [2(−1)^{n+1}/n]² = 4·Σ 1/n²
Крок 4. Прирівнюємо
2π²/3 = 4·Σ_{n=1}^{∞} 1/n² Σ_{n=1}^{∞} 1/n² = π²/6 ≈ 1.6449...
✅ Відповідь: Σ 1/n² = π²/6 ≈ 1.6449 (класична формула Ейлера, Basel problem, 1735)
Задача 4
Комплексний ряд Фур'є та спектр
Записати комплексний ряд Фур'є для прямокутного імпульсу: f(t) = A при |t| < τ/2, f(t) = 0 при τ/2 < |t| < T/2, де T — період.
Крок 1. Комплексні коефіцієнти Фур'є
cₙ = (1/T)·∫_{-T/2}^{T/2} f(t)·e^{−jnω₀t} dt, ω₀ = 2π/T cₙ = (1/T)·∫_{-τ/2}^{τ/2} A·e^{−jnω₀t} dt = (A/T)·[e^{−jnω₀t}/(−jnω₀)]_{-τ/2}^{τ/2}
Крок 2. Спрощення (sinc-функція)
cₙ = (Aτ/T)·[sin(nω₀τ/2)/(nω₀τ/2)] = (Aτ/T)·sinc(nπτ/T) де sinc(x) = sin(x)/x, sinc(0) = 1
Амплітудні спектр: |cₙ| = (Aτ/T)·|sinc(nπτ/T)| — обвідна у формі sinc!
Крок 3. Нулі спектру та ширина головної пелюстки
sinc(nπτ/T) = 0 при nπτ/T = kπ → n = kT/τ Ширина головної пелюстки у частотній осі: Δf = 2/τ (у Гц)
Чим вужчий імпульс (τ↓), тим ширший спектр (Δf↑). Принцип невизначеності часу-частоти.
✅ Відповідь: cₙ = (Aτ/T)·sinc(nπτ/T). Нулі при n = kT/τ. Ширина 2/τ Гц (τ·Δf = 2 — зворотна залежність)
Задача 5
Ряд Фур'є функції f(x) = x² на [−π, π] та формула Базеля
Знайти ряд Фур'є f(x) = x² на (−π, π) та вивести з нього значення Σ 1/n² та Σ (−1)^{n+1}/n².
Крок 1. Парність — тільки косинусні члени
f(x) = x² — парна функція. Отже всі bₙ = 0. a₀ = (1/π)·∫_{-π}^{π} x²dx = (2/π)·[x³/3]₀^π = 2π²/3
Крок 2. Коефіцієнти aₙ
aₙ = (1/π)·∫_{-π}^{π} x²·cos(nx)dx = (2/π)·∫₀^π x²·cos(nx)dx Інтегруємо частинами двічі: aₙ = (4/n²)·cos(nπ) = 4(−1)ⁿ/n²
Крок 3. Ряд Фур'є x²
x² = π²/3 + 4·Σ_{n=1}^{∞} (−1)ⁿ·cos(nx)/n²
Крок 4. Підставляємо x = π → Σ 1/n²
π² = π²/3 + 4·Σ (−1)ⁿ·(−1)ⁿ/n² = π²/3 + 4·Σ 1/n² Σ 1/n² = (π² − π²/3)/4 = (2π²/3)/4 = π²/6 ✓
Крок 5. x = 0 → Σ (−1)^{n+1}/n²
0 = π²/3 + 4·Σ (−1)ⁿ/n² → Σ (−1)ⁿ/n² = −π²/12 → Σ (−1)^{n+1}/n² = π²/12
✅ Σ 1/n² = π²/6 ≈ 1.6449; Σ (−1)^{n+1}/n² = π²/12 ≈ 0.8225 (Ейлер, Basel problem)
∫ Тренажер: Інтеграли ∑ Тренажер: Ряди 📐 Формули перетворення Фур'є ↗ Числові ряди (розв'язані)

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з ряди фур'є демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Ряди Фур'є': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з ряди фур'є представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з ряди фур'є найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок ряди фур'є містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з ряди фур'є допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Ряди Фур'є' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор ряду Фур'є онлайн 🧮 Аналіз Фур'є 💪 Тренажер: Ряди Фур'є — основи 💪 Аналіз Фур'є — тренажер 📖 Аналіз Фур'є: ряди, перетворення, застосування 📖 Фур'є-аналіз: розкладання функцій на гармоніки 📐 Перетворення Фур'є — Формула