F̂(ω) = ∫₋∞^∞ f(t)·e^(−iωt) dt
f(t) = (1/2π)·∫₋∞^∞ F̂(ω)·e^(iωt) dω
f(t) = (1/2π)·∫₋∞^∞ F̂(ω)·e^(iωt) dω
Пряме і обернене перетворення Фур'є
Розкладає довільну функцію або сигнал в інтеграл гармонічних коливань. Основа обробки сигналів, стиснення даних (MP3, JPEG) і спектрального аналізу.
Функція f(t) описує сигнал у часі. F̂(ω) — опис того ж сигналу в частотному просторі (спектр): при яких частотах і з якою амплітудою він «коливається».
Формула Ейлера: e^(−iωt) = cos(ωt) − i·sin(ωt). Тому інтеграл Фур'є — це «зважений розклад» на гармоніки.
|F̂(ω)| — амплітудний спектр; arg(F̂(ω)) — фазовий спектр.
| f(t) | F̂(ω) |
|---|---|
| δ(t) — дельта Дірака | 1 |
| 1 | 2π·δ(ω) |
| e^(iω₀t) | 2π·δ(ω−ω₀) |
| cos(ω₀t) | π[δ(ω−ω₀) + δ(ω+ω₀)] |
| sin(ω₀t) | −iπ[δ(ω−ω₀) − δ(ω+ω₀)] |
| rect(t) — прямокутний імпульс | sinc(ω/2) = sin(ω/2)/(ω/2) |
| e^(−at)·u(t), a>0 | 1/(a+iω) |
| e^(−a|t|), a>0 | 2a/(a²+ω²) |
| Гауссіана e^(−at²) | √(π/a)·e^(−ω²/4a) |
DFT для послідовності N чисел x[n]:
X[k] = Σ_{n=0}^{N-1} x[n]·e^(−2πi·kn/N)
FFT (Fast Fourier Transform) — алгоритм обчислення DFT за O(N log N) замість O(N²). Cooley-Tukey (1965). Лежить в основі MP3, JPEG, Wi-Fi OFDM, радарів.
Видалення частот поза слуховим діапазоном
DCT (косинус-варіант ПФ) для стиснення зображень
OFDM: передача даних по ортогональних піднесучих
K-простір = ПФ зображення тіла
Аналіз частот землетрусів
Хімічний спектральний аналіз
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.