ℒ{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^(−st) dt
де s = σ + iω ∈ ℂ
Визначення односторонього перетворення Лапласа
📋Таблиця основних пар Лапласа
Якщо знайти F(s) = ℒ{f(t)}, то f(t) = ℒ⁻¹{F(s)} — обернене перетворення.
| f(t) (оригінал) | F(s) = ℒ{f(t)} | Область збіжності |
|---|
| 1 (одинична функція) | 1/s | Re(s) > 0 |
| t | 1/s² | Re(s) > 0 |
| tⁿ | n!/s^(n+1) | Re(s) > 0 |
| e^(at) | 1/(s−a) | Re(s) > a |
| sin(ωt) | ω/(s²+ω²) | Re(s) > 0 |
| cos(ωt) | s/(s²+ω²) | Re(s) > 0 |
| e^(at)·sin(ωt) | ω/((s−a)²+ω²) | Re(s) > a |
| e^(at)·cos(ωt) | (s−a)/((s−a)²+ω²) | Re(s) > a |
| δ(t) (дельта) | 1 | всі s |
| sinh(at) | a/(s²−a²) | Re(s) > |a| |
| cosh(at) | s/(s²−a²) | Re(s) > |a| |
| t·e^(at) | 1/(s−a)² | Re(s) > a |
⚙️Властивості
Лінійність
ℒ{af + bg} = aF(s) + bG(s)
Диференціювання оригіналу
ℒ{f'(t)} = s·F(s) − f(0)
ℒ{f''} = s²F(s) − sf(0) − f'(0)
Інтегрування оригіналу
ℒ{∫₀ᵗ f(τ)dτ} = F(s)/s
Зсув по s (множення на e^at)
ℒ{e^(at)f(t)} = F(s−a)
Зсув по t (запізнювання)
ℒ{f(t−a)·u(t−a)} = e^(−as)·F(s)
Згортка (конволюція)
ℒ{f*g} = F(s)·G(s)
де (f*g)(t) = ∫₀ᵗ f(τ)g(t−τ)dτ
✏️Приклад: розв'язання ДР методом Лапласа
Задача: y'' + 3y' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0
1. Застосовуємо ℒ: s²Y − s·1 − 0 + 3(sY − 1) + 2Y = 0
2. Y(s²+3s+2) = s+3 → Y = (s+3)/((s+1)(s+2))
3. Розкладаємо на прості дроби: Y = 2/(s+1) − 1/(s+2)
4. Обернене ℒ⁻¹: y(t) = 2e^(−t) − e^(−2t)
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Ключові формули математичного аналізу: похідні, інтеграли, ряди, граничні переходи та теореми про середнє значення — фундамент кількісного опису природи.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.
Часті запитання (FAQ)
Які основні формули охоплює цей розділ з перетворення лапласа?
Розділ 'Перетворення Лапласа' містить: похідна (f'(x)), інтеграл (∫f(x)dx), формула Ньютона-Лейбніца, ряди Тейлора та Маклорена, правило Лопіталя. Кожна формула подана у загальному вигляді з поясненням позначень та умовами застосування.
Як правильно застосовувати формули з перетворення лапласа?
Перед підстановкою чисел у формулу переконайтесь: (1) всі величини в одних одиницях, (2) ви зрозуміли фізичний або математичний сенс кожного символу, (3) результат має правильну розмірність. Це три кроки, що запобігають 90% помилок.
Де в реальному житті використовуються формули перетворення лапласа?
Формули перетворення лапласа застосовуються в: фізиці (рух, хвилі), інженерії (оптимізація, моделювання), економіці (граничні витрати), медицині (фармакокінетика) та ComputerScience (градієнтний спуск у ML). Знання цих співвідношень є обов'язковим для інженерів, науковців та студентів відповідних спеціальностей.
Які типові помилки роблять при роботі з формулами перетворення лапласа?
Найчастіші помилки: плутанина з одиницями вимірювання, неправильне трактування умов застосування формули, арифметичні прорахунки при підстановці. Завжди перевіряйте розмірність результату та порівнюйте з очікуваним порядком величини.
Як перевірити правильність формули перетворення лапласа?
Для перевірки: (1) перевірте розмірність (всі доданки мають однакову розмірність), (2) підставте граничні випадки (нулі, нескінченність), (3) звіртеся з результатом онлайн-калькулятора на calculator.party.