Σ Числові ряди

Задачі з числових рядів

5 розв'язаних задач: геометричний ряд, ознаки збіжності Даламбера і Коші, степеневі ряди, теорема Лейбніца

Ключові формули і критерії

Основні поняття та ознаки збіжності
Необхідна умова збіжностіlim(n→∞) aₙ = 0
Геометричний ряд Σqⁿ|q|<1 → збігається, S=a₁/(1−q)
Ознака ДаламбераL=lim|a_{n+1}/aₙ|: L<1→збіг, L>1→розбіг
Ознака Коші (коренева)L=lim ⁿ√|aₙ|: L<1→збіг, L>1→розбіг
Ознака Лейбніца (знакозмінний)|aₙ|↘0 → ряд збігається
Радіус збіжності степеневого рядуR = 1/lim ⁿ√|cₙ| = lim|cₙ/c_{n+1}|
Задача 1 — Геометричний ряд
Дослідити збіжність та знайти суму геометричного ряду
Дано: Σ (2/3)ⁿ, n від 0 до ∞
Крок 1 — Визначаємо q
q = 2/3 ≈ 0.667; |q| = 2/3 < 1
Оскільки |q| < 1, ряд збігається.
Крок 2 — Сума нескінченного геометричного ряду
S = a₁ / (1−q) = 1 / (1 − 2/3) = 1 / (1/3) = 3
Відповідь: Ряд збігається, S = 3
Задача 2 — Ознака Даламбера
Дослідити збіжність ряду ознакою Даламбера
Дано: Σ n! / nⁿ
Крок 1 — Знаходимо відношення
a_{n+1}/aₙ = [(n+1)!/(n+1)^(n+1)] / [n!/nⁿ]
= (n+1)·n! · nⁿ / (n!·(n+1)^(n+1))
= nⁿ / (n+1)ⁿ = (n/(n+1))ⁿ = (1 − 1/(n+1))ⁿ
Крок 2 — Границя
L = lim (1 − 1/(n+1))ⁿ = e⁻¹ = 1/e ≈ 0.368 < 1
Відповідь: L = 1/e < 1 → ряд збігається
💡 Число e = lim(1+1/n)ⁿ ≈ 2.718 — ключова границя!
Задача 3 — Ознака Коші
Дослідити збіжність ряду ознакою Коші
Дано: Σ (2n/(3n+1))ⁿ
Крок 1 — Коренева ознака Коші
ⁿ√|aₙ| = ⁿ√((2n/(3n+1))ⁿ) = 2n/(3n+1)
Крок 2 — Границя при n→∞
L = lim 2n/(3n+1) = lim 2/(3+1/n) = 2/3 < 1
Відповідь: L = 2/3 < 1 → ряд збігається
Задача 4 — Знакозмінний ряд (теорема Лейбніца)
Дослідити збіжність знакозмінного ряду
Дано: Σ (-1)ⁿ / n = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + …
Крок 1 — Перевірка умов теореми Лейбніца
Потрібно: (а) |aₙ| = 1/n монотонно спадає; (б) lim 1/n = 0
(а) 1/(n+1) < 1/n ✓ (б) lim 1/n = 0 ✓
Крок 2 — Висновок
Обидві умови виконані → ряд збігається.
S = ln 2 ≈ 0.6931 (відомий результат)
Відповідь: Ряд збігається; S = ln 2
💡 Порівняй: гармонійний ряд Σ1/n розбігається! Знак має значення.
Задача 5 — Радіус збіжності степеневого ряду
Знайти область збіжності степеневого ряду
Дано: Σ xⁿ / (n · 2ⁿ)
Крок 1 — Ознака Даламбера для степеневих рядів
|a_{n+1}/aₙ| = |x^(n+1)/((n+1)·2^(n+1))| / |xⁿ/(n·2ⁿ)|
= |x| · n / (2(n+1)) → |x|/2 при n→∞
Крок 2 — Радіус збіжності
Ряд збігається, якщо |x|/2 < 1 → |x| < 2 → R = 2
Область збіжності: x ∈ (−2, 2)
Крок 3 — Перевірка кінців
x = 2: Σ 1/n — розбігається (гармонійний). x = −2: Σ (−1)ⁿ/n — збігається (Лейбніц).
Відповідь: R = 2; область збіжності: [−2, 2)

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з задачі з числових рядів демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Задачі з числових рядів': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з задачі з числових рядів представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з задачі з числових рядів найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок задачі з числових рядів містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з задачі з числових рядів допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Задачі з числових рядів' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.