🌊 Фізика • Коливання

Коливання — розв'язані задачі

5 задач: пружина, маятник, енергія ПГМ, затухання, резонанс

Задача 1Пружинний маятник — період коливань
Тіло масою m=0.4 кг підвішено на пружині з жорсткістю k=100 Н/м. Знайти період Т і частоту коливань f.
Формула пружинного маятника
T = 2π · √(m/k)
Підставляємо
T = 2π · √(0.4/100) = 2π · √(0.004) = 2π · 0.0632
Обчислення
T = 2 · 3.1416 · 0.0632 ≈ 0.397 с ≈ 0.40 с
Частота
f = 1/T = 1/0.397 ≈ 2.52 Гц; ω = 2πf ≈ 15.8 рад/с
Відповідь
T ≈ 0.40 с; f ≈ 2.52 Гц
Задача 2Математичний маятник — довжина
Математичний маятник здійснює коливання з періодом T=2.0 с (місцеве прискорення g=9.81 м/с²). Знайти довжину маятника ℓ.
Формула математичного маятника
T = 2π · √(ℓ/g) → ℓ = g·(T/2π)²
Підставляємо
ℓ = 9.81 · (2.0/6.2832)² = 9.81 · (0.3183)² = 9.81 · 0.1013
Результат
ℓ = 9.81 · 0.1013 ≈ 0.994 м ≈ 1.0 м
Маятник з T=2 с — «секундний маятник», довжина ≈ 1 м. Використовувався у хронометрах XVII–XIX ст.
Відповідь
ℓ ≈ 1.0 м
Задача 3Повна механічна енергія ПГМ
Тіло m=0.2 кг коливається з амплітудою A=0.05 м і кутовою частотою ω=10 рад/с. Знайти максимальну кінетичну, потенційну та повну енергії.
Повна енергія ПГМ
E = ½·m·ω²·A²
Обчислення
E = ½·0.2·(10)²·(0.05)² = ½·0.2·100·0.0025 = 0.025 Дж
Кінетична (max, у рівноважному положенні)
K_max = E = 0.025 Дж, бо P=0 у x=0
Потенційна (max, у крайніх точках)
U_max = E = 0.025 Дж, бо K=0 у x=±A
Відповідь
E = K_max = U_max = 0.025 Дж = 25 мДж
Задача 4Затухаючі коливання — час зменшення амплітуди
Коливання описуються рівнянням x = A·e^(−βt)·cos(ω't). Коефіцієнт затухання β=0.1 с⁻¹. Через який час амплітуда зменшиться до 1/e від початкової?
Амплітуда у момент t
A(t) = A₀·e^(−β·t)
Умова A(t) = A₀/e = A₀·e⁻¹
e^(−β·t) = e⁻¹ → β·t = 1 → t = 1/β
Обчислення
t = 1/0.1 = 10 с
τ = 1/β = 10 с — час релаксації. За цей час амплітуда зменшується в e≈2.718 разів.
Відповідь
t = τ = 1/β = 10 с
Задача 5Резонанс — амплітуда при вимушених коливаннях
Осцилятор має власну частоту ω₀=20 рад/с, β=2 с⁻¹. Знайти резонансну частоту ωᵣₑₛ і порівняти з ω₀.
Резонансна частота вимушених коливань (максимум амплітуди)
ω_res = √(ω₀² − 2β²)
Підставляємо
ω_res = √(400 − 2·4) = √(400 − 8) = √392 ≈ 19.8 рад/с
Порівняння з ω₀=20 рад/с
Δω = 20 − 19.8 = 0.2 рад/с (мала різниця при β≪ω₀)
Добротність: Q = ω₀/(2β) = 20/4 = 5. При великій добротності ωᵣₑₛ ≈ ω₀ — резонанс гострий.
Відповідь
ω_res ≈ 19.8 рад/с; Q = 5; резонанс відрізняється від ω₀ лише на 1%
🔬 Оптика Кінематика Тест фізика ↩ Всі розв'язані

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з коливання демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Коливання': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з коливання представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з коливання найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок коливання містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з коливання допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Коливання' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор теорії коливань 💪 Тренажер: Коливання і хвилі