10 питань — бісекція, Ньютон-Рафсон, МНК, інтеграція, метод Гаусса
Питання 1 / 10Метод бісекції
Метод бісекції для знаходження кореня f(x)=0 на [a,b]: скільки ітерацій потрібно, щоб гарантувати точність ε?
f: [a,b]→ℝ, f(a)·f(b) < 0
Кількість ітерацій n ≥ ?
Після n ітерацій довжина інтервалу = (b−a)/2ⁿ. Вимагаємо (b−a)/2ⁿ ≤ ε → 2ⁿ ≥ (b−a)/ε → n ≥ log₂((b−a)/ε). Це лінійна збіжність (-log₂ ≈ 0.693 бітів на ітерацію).
Питання 2 / 10Метод Ньютона-Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона для розв'язку f(x)=0: яка формула ітерації і який порядок збіжності (поблизу простого кореня)?
xₙ₊₁ = ? порядок збіжності = ?
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ) — дотична до кривої. Квадратична збіжність: |eₙ₊₁| ≤ C·|eₙ|² (кількість вірних цифр подвоюється!). Умова: f'(x*)≠0 і початкове наближення достатньо близьке.
Питання 3 / 10Формула трапецій
Яка похибка методу трапецій для ∫ₐᵇf(x)dx з кроком h=(b−a)/n?
Метод трапецій:
∫ₐᵇf ≈ h/2·[f(x₀)+2f(x₁)+...+2f(xₙ₋₁)+f(xₙ)]
Глобальна похибка = ?
Глобальна похибка O(h²): |E| ≤ (b−a)h²/(12)·max|f''|. Локальна похибка на одному відрізку O(h³). Метод Симпсона дає O(h⁴). Гаусова квадратура з n вузлами: O(h²ⁿ).
Питання 4 / 10Метод Симпсона
Метод Симпсона (1/3-Симпсона) для рівномірної сітки з n підінтервалами (n парне): яка формула ваг?
∫ₐᵇ f dx ≈ h/3·(...)
Коефіцієнти при f(x₀), f(x₁), f(x₂), f(x₃), ..., f(xₙ)
Симпсон 1/3: h/3·[1,4,2,4,2,...,4,1] — чергування 4 і 2 (крім першого і останнього). Похибка O(h⁴). Симпсон 3/8: 3h/8·[1,3,3,2,3,3,2,...,3,3,1]. Метод трапецій: h/2·[1,2,...,2,1].
Питання 5 / 10МНК (метод найменших квадратів)
Для системи Ax = b (A — матриця m×n, m>n, переозначена), МНК-розв'язок мінімізує ‖Ax−b‖². Які нормальні рівняння?
min‖Ax−b‖² → x̂ = ?
АᵀАx = Аᵀb — нормальні рівняння МНК. Виводяться з ∂/∂x‖Ax−b‖² = 0 → 2Aᵀ(Ax−b) = 0. Числово стійкіший підхід: QR-розклад або SVD: x̂ = VΣ⁺Uᵀb (псевдообернена матриця).
Питання 6 / 10Числові помилки
Яке явище виникає при обчисленні (1 + ε) − 1 у числах з плаваючою точкою при ε << 1 (наприклад, ε = 10⁻¹⁶)?
x = 1.0 + 1e-16
y = x - 1.0
y = ? (у double precision, де ε_machine ≈ 2.2e-16)
Катастрофічне скорочення: при додаванні 1.0 + 1e-16 (менше ε_machine ≈ 2.2e-16), мале число «губиться» через обмежену мантису. Результат: 1.0 + 1e-16 = 1.0; 1.0 − 1.0 = 0. Рішення: переформулювання алгоритму (уникати відніманя близьких чисел).
Питання 7 / 10Метод Гаусса
Метод Гаусса з частковим зведенням (pivoting) розв'язує СЛАР Ax=b. Яка його часова складність?
A ∈ ℝⁿˣⁿ, b ∈ ℝⁿ
T(n) = ?
O(n³) — Метод Гаусса потребує ~n³/3 операцій (прямий хід ~2n³/3, зворотній підставки O(n²)). Для розріджених матриць: O(n²) або менше. Ітераційні методи (CG): O(n·√κ) де κ — умовне число матриці.
Питання 8 / 10Інтерполяція
Поліном Лагранжа за n+1 вузлами ({xᵢ,yᵢ}) будується формулою. Яка максимальна ступінь полінома?
Поліном Лагранжа за n+1 вузлами має ступінь ≤ n. Базисні поліноми Lᵢ(x) = ∏ⱼ≠ᵢ (x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ) мають ступінь n. Але увага: феномен Рунге! При рівномірних вузлах і великих n може виникати осциляція. Вузли Чебишева mінімізують максимальну похибку.
Питання 9 / 10Гаусова квадратура
Гаусова квадратура з n вузлами точно інтегрує поліноми якого ступеня?
∫₋₁¹ f(x)dx ≈ Σᵢ wᵢ·f(xᵢ), i=1,...,n
Точно для полінома ступеня ≤ ?
Гаусова квадратура з n вузлами точна для полінома ступеня ≤ 2n−1. Оптимальний вибір вузлів і ваг. Вузли = нулі полінома Лежандра Pₙ(x). Порівняння: метод трапецій з n-1 вузлами — точний лише для ступеня ≤ 1.
Питання 10 / 10Власні значення
Степеневий метод (power iteration) для знаходження найбільшого власного значення матриці A збігається до λ₁ при умові:
|λ₁| > |λ₂| — необхідна умова збіжності. Якщо є два рівних за модулем найбільших власних значення, метод не збігається до одного. Швидкість збіжності: (|λ₂/λ₁|)ⁿ → 0. Для всіх власних значень: QR-алгоритм (O(n³) за ітерацію).
0/10
Про цей тест
Цей тест перевіряє розуміння ключових концепцій теми. Питання складені так, щоб виявити прогалини у знаннях і спрямувати вас до матеріалів для повторення.
Механіка є основою для розуміння руху і сил у природі та інженерії.
Як підготуватися до тесту
Пройдіть тест до вивчення теми — щоб зрозуміти, що ви вже знаєте. Потім повторіть матеріал і пройдіть знову. Порівняйте результати — це покаже ефективність підготовки.
Часті запитання (FAQ)
Який матеріал перевіряє тест з тест?
Тест охоплює ключові концепції теми 'Тест': означення, теореми, методи обчислень та вміння застосовувати знання до конкретних задач. Питання вибрані так, щоб виявити як теоретичне розуміння, так і практичні навички.
Скільки питань у тесті з тест і яка структура?
Тест з 'Тест' включає питання різного типу: одиночний вибір, множинний вибір та числові відповіді. Структура відповідає стандартним університетським тестам, що робить підготовку максимально реалістичною.
Як підготуватися до тесту з тест?
Оптимальна підготовка до тесту з 'Тест': вивчіть теоретичний матеріал за шпаргалкою → пройдіть тренажер вправ → ознайомтеся з розв'язаними задачами → пройдіть пробний тест → проаналізуйте помилки → повторіть слабкі місця.
Чи можна пройти тест з тест кілька разів?
Так, тест з 'Тест' можна проходити необмежену кількість разів. Рекомендуємо: пройдіть до вивчення теми (базовий рівень), потім після — щоб виміряти прогрес. Порівняння результатів мотивує та показує ефективність навчання.
Де можна попрактикуватися перед тестом з тест?
Перед тестом з 'Тест' рекомендуємо: тренажер вправ (інтерактивні задачі з поясненнями), розв'язані задачі (показують метод вирішення) та шпаргалку (швидкий довідник формул) — все доступно безкоштовно на calculator.party.