Вінерівський процес, процес Пуасона, ланцюги Маркова, формула Іто, мартингали
📝 10 питань
⏱ ~10 хвилин
🎓 Університетський рівень
Питання 1 / 10
Яке з тверджень правильне для стандартного вінерівського процесу W(t)?
A
E[W(t)²] = t²
B
E[W(t)²] = t
C
E[W(t)] = t
D
Cov(W(s),W(t)) = s + t
Пояснення
Для стандартного вінерівського процесу: W(t)~N(0,t), тому E[W(t)]=0 та E[W(t)²]=Var(W(t))=t. Коваріація Cov(W(s),W(t))=min(s,t), а не s+t.
Питання 2 / 10
Закон розподілу кількості подій N(t) в однорідному процесі Пуасона з інтенсивністю λ:
A
Геометричний
B
Нормальний N(λt, λt)
C
P(N(t)=k) = e−λt(λt)k/k! — розподіл Пуасона
D
Біноміальний
Пояснення
N(t) у пуасонівському процесі має розподіл Пуасона з параметром λt: P(N(t)=k)=e^{−λt}(λt)^k/k!. Середнє і дисперсія рівні λt. При λt→∞ наближується до нормального (ЦГТ).
Питання 3 / 10
Яка умова визначає марківську властивість ланцюга Маркова?
A
P(X_{n+1}=j | X₀,...,Xₙ) = P(X_{n+1}=j | Xₙ)
B
Прирости X_{n+1}−Xₙ незалежні між собою
C
X_{n+1}−Xₙ мають нормальний розподіл
D
P(Xₙ=j) = 1/N для всіх станів j
Пояснення
Марківська властивість (відсутність пам'яті): майбутній стан залежить лише від поточного стану, але не від передісторії. Формально: P(X_{n+1}=j|X₀,...,Xₙ)=P(X_{n+1}=j|Xₙ).
Питання 4 / 10
Яку форму має формула Іто для f(W(t)), де f ∈ C²?
A
df = f'(W)dW
B
df = f'(W)dW + ½ f''(W)dt
C
df = f'(W)dt
D
df = f'(W)dW − ½ f''(W)dt
Пояснення
Формула Іто відрізняється від звичайного диференціювання додатковим членом ½f''dt, який виникає через квадратичну варіацію вінерівського процесу: (dW)²=dt. Повна форма: df(t,X)=(∂f/∂t + μ∂f/∂x + ½σ²∂²f/∂x²)dt + σ∂f/∂x·dW.
Питання 5 / 10
Геометричний броунівський рух задається SDE: dS = μS dt + σS dW. Яке явне розв'язання?
A
S(t) = S₀ · e^{μt}
B
S(t) = S₀ · (1 + μt + σW(t))
C
S(t) = S₀ · e^{σW(t)}
D
S(t) = S₀ · e^{(μ − σ²/2)t + σW(t)}
Пояснення
Застосовуємо формулу Іто до f(S)=ln(S): d(ln S) = (μ−σ²/2)dt + σdW. Звідси ln(S(t)/S₀) = (μ−σ²/2)t + σW(t). Член −σ²/2 — це "поправка Іто", що відрізняє від наївного відповіді e^{μt}.
Питання 6 / 10
Мартингал M(t) відносно фільтрації ℱₜ — це процес, що задовольняє:
A
E[M(t+s)] = M(t) · s
B
M(t) є монотонно зростаючим
C
E[M(t+s) | ℱₜ] = M(t) для всіх s ≥ 0
D
M(t) = W(t)² для вінерівського процесу
Пояснення
Мартингал — "чесна гра": умовне математичне сподівання майбутнього значення, дане поточну інформацію, рівне поточному значенню: E[M(t+s)|ℱₜ]=M(t). Сам W(t) є мартингалом, а W(t)²−t — теж мартингал (але не W(t)² сам по собі).
Питання 7 / 10
Рівняння Чепмена-Колмогорова для матриці переходів P(n) ланцюга Маркова:
A
P(n+m) = P(n) · P(m)
B
P(n+m) = P(n) + P(m)
C
P(n) = P⁰/n!
D
P(n+m) = (det P)ⁿ
Пояснення
Рівняння Чепмена-Колмогорова: P(n+m)=P(n)·P(m). Це означає: n+m крокові ймовірності отримуємо перемноженням матриць. Зокрема P(n)=Pⁿ (n-та ступінь одноступінчатої матриці).
Орнштейн-Уленбек — лінійний SDE з mean-reversion. Розв'язок X(t)=e^{−θt}X₀+σ∫₀ᵗ e^{−θ(t−s)}dW(s). При t→∞ дисперсія прямує до σ²/(2θ), середнє до 0. Стаціонарний розподіл: N(0, σ²/(2θ)).
Питання 9 / 10
Якщо W(t) — стандартний вінерівський процес, яким процесом є M(t) = W(t)² − t?
A
Вінерівський процес
B
Пуасонівський процес
C
Мартингал
D
Стаціонарний процес
Пояснення
Застосуємо формулу Іто до f(W)=W²: df = 2W dW + ½·2 dt = 2W dW + dt. Отже d(W²) = 2W dW + dt, звідси d(W²−t) = 2W dW. Це стохастичний інтеграл від адаптованого процесу → мартингал (за теоремою Іто).
Питання 10 / 10
Стаціонарний розподіл π скінченного незвідного ланцюга Маркова з матрицею P задовольняє:
A
πP = π та Σᵢ πᵢ = 1
B
πP = 1 (вектор одиниць)
C
Pπ = π та Σᵢ πᵢ = 1 (π — стовпець)
D
Σᵢ πᵢ = 0
Пояснення
Стаціонарний (інваріантний) розподіл π — рядковий вектор, що задовольняє: πP = π (π є лівим власним вектором P з власним значенням 1) та Σπᵢ=1 (нормування). Варіант C неправильний: там π — стовпець, а потрібен рядок.
0/10балів
Про цей тест
Цей тест перевіряє розуміння ключових концепцій теми. Питання складені так, щоб виявити прогалини у знаннях і спрямувати вас до матеріалів для повторення.
Як підготуватися до тесту
Пройдіть тест до вивчення теми — щоб зрозуміти, що ви вже знаєте. Потім повторіть матеріал і пройдіть знову. Порівняйте результати — це покаже ефективність підготовки.
Часті запитання (FAQ)
Який матеріал перевіряє тест з стохастичні процеси?
Тест охоплює ключові концепції теми 'Стохастичні процеси': означення, теореми, методи обчислень та вміння застосовувати знання до конкретних задач. Питання вибрані так, щоб виявити як теоретичне розуміння, так і практичні навички.
Скільки питань у тесті з стохастичні процеси і яка структура?
Тест з 'Стохастичні процеси' включає питання різного типу: одиночний вибір, множинний вибір та числові відповіді. Структура відповідає стандартним університетським тестам, що робить підготовку максимально реалістичною.
Як підготуватися до тесту з стохастичні процеси?
Оптимальна підготовка до тесту з 'Стохастичні процеси': вивчіть теоретичний матеріал за шпаргалкою → пройдіть тренажер вправ → ознайомтеся з розв'язаними задачами → пройдіть пробний тест → проаналізуйте помилки → повторіть слабкі місця.
Чи можна пройти тест з стохастичні процеси кілька разів?
Так, тест з 'Стохастичні процеси' можна проходити необмежену кількість разів. Рекомендуємо: пройдіть до вивчення теми (базовий рівень), потім після — щоб виміряти прогрес. Порівняння результатів мотивує та показує ефективність навчання.
Де можна попрактикуватися перед тестом з стохастичні процеси?
Перед тестом з 'Стохастичні процеси' рекомендуємо: тренажер вправ (інтерактивні задачі з поясненнями), розв'язані задачі (показують метод вирішення) та шпаргалку (швидкий довідник формул) — все доступно безкоштовно на calculator.party.