🎓 Курс • Класична механіка

Механіка

7 модулів: кінематика, закони Ньютона, енергія, імпульс, обертання, гравітація, коливання

📋 Зміст курсу

01 Кінематика — рівноприскорений рух, траєкторія, кидання
02 Закони Ньютона — сили, тертя, пружність (закон Гука)
03 Робота та енергія — W, KE, PE, закон збереження
04 Імпульс — p=mv, удари, пружний/непружний
05 Обертальний рух — τ=rF, момент інерції, кутовий імпульс
06 Гравітація — закон тяжіння, орбіти, 1-а та 2-а космічні
07 Коливання — гармонічний осцилятор, маятник, загасання
01
Кінематика
рівноприскорений рух, вільне падіння, кидання під кутом

v = v₀ + a·t

S = v₀·t + ½·a·t²

v² = v₀² + 2·a·S

S = (v₀+v)/2 · t

Вільне падіння (a = g = 9,81 м/с²)
h = v₀t + ½gt²; v = √(2gh) при v₀=0. Час падіння: t = √(2h/g).
Кидання горизонтально
x = v₀t; y = ½gt². Дальність: L = v₀√(2H/g). Vкін = √(v₀²+vy²).
Кидання під кутом α
L = v₀²·sin(2α)/g; H = v₀²·sin²α / (2g); T = 2v₀·sinα/g. Максимальна дальність при α=45°.
Рівномірний рух по колу
v = ωR; aц = v²/R = ω²R; T = 2πR/v = 2π/ω; F_ц = mv²/R.
02
Закони Ньютона
динаміка, тертя, Гук, нахилена площина

I Закон: тіло в рівновазі ⟺ ΣF = 0

II Закон: ΣF = m·a; a = ΣF/m

III Закон: F₁₂ = −F₂₁ (протилежні, рівні)

Сила тертя ковзання
F_тр = μ·N; де N — нормальна реакція опори. Статичне тертя: F_ст ≤ μₛ·N.
Закон Гука (пружина)
F = −k·x; де k [Н/м] — жорсткість, x — видовження. Знак «−»: сила проти деформації.
Нахилена площина (кут θ)
a = g·(sinθ − μ·cosθ). При русі без тертя: a = g·sinθ. N = mg·cosθ.
Зважування в ліфті
Підйом з a: N = m(g+a) > mg. Spusk з a: N = m(g−a) < mg. Невагомість: a=g (вільне падіння).
03
Робота та енергія
W, KE, PE, потужність, ЗЗЕ

W = F·S·cos θ [Дж]

KE = ½·m·v²; ΔKE = W_net (теорема про кінет. енергію)

PE_гrav = m·g·h; PE_пруж = ½·k·x²

ЗЗЕ: KE₁ + PE₁ = KE₂ + PE₂ (без тертя)

Потужність
P = W/t = F·v [Вт]. ККД: η = A_кор / A_повн. Для мотору: P = τ·ω.
Потенціальна яма і бар'єр
Тіло «захоплене» якщо KE < |PE| у нескінченності. Швидкість в точці: v = √(2(E_total − PE)/m).
04
Імпульс та удари
p=mv, J=FΔt, пружний/непружний удар

p = m·v [кг·м/с] — імпульс тіла

J = F·Δt = Δp — імпульс сили

Закон збереження: Σp_до = Σp_після (замкнена система)

Пружний удар m₁ на нерухоме m₂
v₁' = (m₁−m₂)/(m₁+m₂)·u₁; v₂' = 2m₁/(m₁+m₂)·u₁. Якщо m₁=m₂: v₁'=0, v₂'=u₁ (більярд).
Абсолютно непружний удар (злипання)
v_спільн = (m₁u₁ + m₂u₂)/(m₁+m₂). ΔKE = ½·m₁m₂/(m₁+m₂)·(u₁−u₂)² (втрата у теплоту).
05
Обертальний рух
τ, I, L, кутова KE, теорема Штейнера

τ = r × F = r·F·sinθ [Н·м] — момент сили

Σ τ = I·α (аналог II закону Ньютона для обертання)

I = Σ mᵢ·rᵢ² [кг·м²] — момент інерції

L = I·ω [кг·м²/с] — кутовий імпульс; ЗЗL: ΔL/Δt = τ

KE_об = ½·I·ω²

Моменти інерції (відносно осі)
Стержень (центр): ¹/₁₂mL². Диск: ½mR². Суцільна куля: ²/₅mR². Кільце: mR². Порожня куля: ²/₃mR².
Теорема Штейнера
I = I_cm + m·d²; де d — відстань між паралельними осями (центр мас і нова вісь).
Кочення без ковзання
v = ωR; KE_повн = ½mv² + ½Iω² = ½mv²(1 + I/mR²). Диск: KE=¾mv², куля: ⁷/₁₀mv².
06
Гравітація
закон тяжіння, орбіти Кеплера, космічні швидкості

F = G·m₁m₂/r² [Н]; G = 6,674×10⁻¹¹ Н·м²/кг²

g = G·M / R² ≈ 9,81 м/с² (поверхня Землі)

Кеплер III: T² ~ a³; T²/a³ = 4π²/(G·M) = const

1-а космічна швидкість
v₁ = √(g·R) = √(G·M/R) ≈ 7,9 км/с. Умова: доцентрова сила = тяжіння (кругова орбіта біля поверхні).
2-а космічна (паравтеча)
v₂ = √2·v₁ = √(2G·M/R) ≈ 11,2 км/с (Земля). Потрібна для виходу з гравітаційного поля Землі.
Орбіта супутника (кругова)
T = 2π√(r³/(G·M)); геостаціонарна r ≈ 42 164 км, T=24 год. Висота над поверхнею: h = r − R_Землі.
07
Коливання (гармонічний осцилятор)
пружина, маятник, резонанс, загасання

x(t) = A·cos(ωt + φ₀); v(t) = −Aω·sin(ωt+φ₀)

Пружина: T = 2π√(m/k); ω₀ = √(k/m)

Математичний маятник: T ≈ 2π√(L/g) (при малих кутах <15°)

Загасаючі: x(t) = A·e^(−βt)·cos(ω't+φ); ω'=√(ω₀²−β²)

Енергія ГАО
E = ½kA² = ½mω²A² = const. KE(t) = ½mω²A²sin²(ωt+φ); PE(t) = ½kA²cos²(ωt+φ). Сума завжди E.
Резонанс
При ω_зовн ≈ ω₀: амплітуда → max (для слабо загасаючих). A_рез = F₀/(2mβω₀). Небезпечний у міцностній інженерії.
Фізичний маятник
T = 2π√(I/(m·g·d)); де d — відстань від осі до центру мас. При I_cm+md²: через Штейнера.
Курс: Оптика Електродинаміка Задачі: Механіка Тест: Механіка ↩ Всі курси

Про цей курс

Цей навчальний матеріал систематично розкриває тему від основ до просунутих концепцій. Курс орієнтований на самостійне навчання з практичним акцентом.

Механіка є основою для розуміння руху і сил у природі та інженерії.

План навчання

Проходьте матеріал послідовно, не пропускаючи розділів. Виконуйте практичні вправи після кожного блоку. Повертайтеся до складних частин після засвоєння наступних розділів.

Часті запитання (FAQ)

Що вивчається в курсі з механіка?
Курс 'Механіка' систематично охоплює тему від основ до просунутих концепцій. Зміст включає теоретичні блоки, формули з поясненнями, практичні приклади та задачі для закріплення. Матеріал структурований за принципом наростаючої складності.
Який попередній рівень знань потрібен для курсу з механіка?
Курс 'Механіка' розрахований на студентів, що вже мають базову математичну підготовку. Якщо ви лише починаєте — рекомендуємо спочатку ознайомитися зі вступними матеріалами у відповідних категоріях calculator.party.
Скільки часу займає проходження курсу з механіка?
Орієнтовний час для проходження курсу 'Механіка': 4–8 годин для базового рівня, 10–20 годин для повного засвоєння разом із задачами. Рекомендуємо розбити на сесії по 45–60 хвилин з перервами між ними.
Чи є практичні завдання в курсі з механіка?
Так, курс 'Механіка' включає практичні блоки: задачі для розв'язання, тести для перевірки розуміння та посилання на онлайн-калькулятори calculator.party для чисельних прикладів. Теорія завжди підкріплена практикою.
Яка структура і порядок вивчення матеріалів курсу з механіка?
Рекомендований порядок для 'Механіка': (1) теорія → (2) шпаргалка з формулами → (3) тренажер вправ → (4) розв'язані задачі → (5) підсумковий тест. Такий шлях забезпечує глибоке і стійке засвоєння матеріалу.