Система чотирьох рівнянь об'єднує електричне та магнітне поля в єдину ЕМ теорію. Максвелл завершив її у 1865 р., додавши струм зміщення ε₀·∂E/∂t — ключ до ЕМ хвиль.
∇·E = ρ/ε₀ (Гаус: E)
∇·B = 0 (Гаус: B — немає монополів)
∇×E = −∂B/∂t (Фарадей: індукція)
∇×B = μ₀(J + ε₀∂E/∂t) (Ампер-Максвелл)
ε₀ = 8.854×10⁻¹² Ф/мЕлектрична стала (проникність вакууму)
μ₀ = 4π×10⁻⁷ Гн/мМагнітна стала
c = 1/√(ε₀μ₀)Швидкість світла з рівнянь Максвелла
У матеріаліε₀→εε₀, μ₀→μμ₀; D=εε₀E, B=μμ₀H
02
Електромагнітні хвилі у вакуумі
Хвильове рівняння • Площинні хвилі • Поляризація
З рівнянь Максвелла в порожньому просторі (ρ=0, J=0) виводиться хвильове рівняння для E і B. Площинна хвиля поширюється у напрямку k̂ = E⃗×B⃗/|E⃗×B⃗|.
∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t² ← хвильове рівняння
E⃗ = E₀ cos(kx − ωt) ŷ | B⃗ = B₀ cos(kx − ωt) ẑ
|B₀| = |E₀|/c | k = ω/c = 2π/λ
ПоперечністьE⃗ ⊥ B⃗ ⊥ k̂ — обидва перпендикулярні до напрямку руху
Поляризаціялінійна, кругова, еліптична — за характером коливання E⃗
Дисперсії немаєу вакуумі c = λf = const для всіх ω
У середовищіv = c/n, n = √(εμ) — показник заломлення
03
Вектор Пойнтінга та радіаційний тиск
Перенесення енергії та імпульсу ЕМ полем
Вектор Пойнтінга S⃗ описує щільність потоку ЕМ енергії (Вт/м²) і напрямок її перенесення. З ним пов'язаний тиск світла — вперше виміряний Лебедєвим 1900 р.
S⃗ = (1/μ₀) E⃗ × B⃗ [Вт/м²]
u = ½(ε₀E² + B²/μ₀) ← щільність ЕМ енергії
P_rad = ⟨S⟩/c = I/c (при повному поглинанні)
⟨S⟩ = E₀²/(2μ₀c)Середня інтенсивність плоскої хвилі
Хвилевід — металева труба, у якій ЕМ хвилі поширюються завдяки відбиттю від стінок. Нижче граничної частоти (cutoff) хвиля не поширюється — тільки загасає.
Поля E⃗ та B⃗ можна виразити через скалярний φ та векторний A⃗ потенціали. Калібрування Лоренца (∇·A + (1/c²)∂φ/∂t = 0) дозволяє записати рівняння симетрично.
B⃗ = ∇ × A⃗ E⃗ = −∇φ − ∂A⃗/∂t
□²φ = −ρ/ε₀ □²A⃗ = −μ₀J⃗ (хвильові рівняння у калібруванні Лоренца)
Калібрування Кулона∇·A=0; φ — моментальне дальнодіяння (але поле — ні)
Ефект Ааронова-БомаA⃗ фізично значущий навіть де B=0
Рітарді потенціалиφ([r,t]) з урахуванням кінцевості c
06
Мультипольне розкладання
Монополь → Диполь → Квадруполь → …
Мультипольне розкладання дозволяє описати поле розподілу зарядів на великих відстанях через моменти. Перший ненульовий момент домінує при r → ∞.
φ(r) = (1/4πε₀Σ qᵢ/r + p⃗·r̂/r² + 1/2 Σ Qᵢⱼ…)
Монополь ~1/rq = Σqᵢ — повний заряд; є тільки якщо q≠0
Диполь ~1/r²p⃗ = Σqᵢrᵢ — дипольний момент
Квадруполь ~1/r³тензор Qᵢⱼ = Σqᵢ(3rᵢrⱼ−r²δᵢⱼ)
Випромінюваннядиполь: P = μ₀p̈²/(6πc); квадруполь ~(d/dt)³ …
07
Ефект Холла та магнітогідродинаміка
Холлівська провідність • МГД рівняння
Ефект Холла — відхилення носіїв заряду у магнетному полі, створює поперечну напругу U_H. МГД вивчає взаємодію струмопровідних рідин/газів із магнетним полем.
Цей навчальний матеріал систематично розкриває тему від основ до просунутих концепцій. Курс орієнтований на самостійне навчання з практичним акцентом.
План навчання
Проходьте матеріал послідовно, не пропускаючи розділів. Виконуйте практичні вправи після кожного блоку. Повертайтеся до складних частин після засвоєння наступних розділів.
Часті запитання (FAQ)
Що вивчається в курсі з класична електродинаміка?
Курс 'Класична електродинаміка' систематично охоплює тему від основ до просунутих концепцій. Зміст включає теоретичні блоки, формули з поясненнями, практичні приклади та задачі для закріплення. Матеріал структурований за принципом наростаючої складності.
Який попередній рівень знань потрібен для курсу з класична електродинаміка?
Курс 'Класична електродинаміка' розрахований на студентів, що вже мають базову математичну підготовку. Якщо ви лише починаєте — рекомендуємо спочатку ознайомитися зі вступними матеріалами у відповідних категоріях calculator.party.
Скільки часу займає проходження курсу з класична електродинаміка?
Орієнтовний час для проходження курсу 'Класична електродинаміка': 4–8 годин для базового рівня, 10–20 годин для повного засвоєння разом із задачами. Рекомендуємо розбити на сесії по 45–60 хвилин з перервами між ними.
Чи є практичні завдання в курсі з класична електродинаміка?
Так, курс 'Класична електродинаміка' включає практичні блоки: задачі для розв'язання, тести для перевірки розуміння та посилання на онлайн-калькулятори calculator.party для чисельних прикладів. Теорія завжди підкріплена практикою.
Яка структура і порядок вивчення матеріалів курсу з класична електродинаміка?
Рекомендований порядок для 'Класична електродинаміка': (1) теорія → (2) шпаргалка з формулами → (3) тренажер вправ → (4) розв'язані задачі → (5) підсумковий тест. Такий шлях забезпечує глибоке і стійке засвоєння матеріалу.