Рівняння Максвелла: диференційна, інтегральна форма, СІ та СГСЕ — всі формули

4 рівняння Максвелла (диференційна форма, СІ)

∇·E = ρ/ε₀ ← Гаус (E) ∇·B = 0 ← Гаус (B): немає монополів ∇×E = −∂B/∂t ← Фарадей ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t ← Ампер-Максвелл

📐 Diференційна та інтегральна форма

Назва / Рівняння	Диференційна (∇)	Інтегральна (∮)	Фізичний зміст
Гаус (E)Закон Гауса — ел.поле	∇·E = ρ/ε₀	∮E⃗·dA⃗ = Q_вн/ε₀	Електричні заряди — джерела E. Потік Е крізь замкнену поверхню = заряд/ε₀
Гаус (B)Немає магн. монополів	∇·B = 0	∮B⃗·dA⃗ = 0	Магнітні монополі не існують. Лінії B завжди замкнені.
ФарадейЕлектромагнітна індукція	∇×E = −∂B/∂t	∮E⃗·dl⃗ = −dΦ_B/dt	Мінливе B породжує E. Основа трансформатора, генератора, мотора.
Ампер-МаксвеллСтрум та зм.E → B	∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t	∮B⃗·dl⃗ = μ₀(I + ε₀dΦ_E/dt)	Струм і мінливе E породжують B. Без ∂E/∂t: суперечність зі збереженням заряду.

🔢 Фундаментальні сталі

Символ	Назва	Значення
ε₀	Електрична стала (проникність вакууму)	8.854 187 812 ×10⁻¹² Ф/м
μ₀	Магнітна стала	4π×10⁻⁷ ≈ 1.256 637×10⁻⁶ Гн/м
c	Швидкість світла у вакуумі	299 792 458 м/с = 1/√(ε₀μ₀)
Z₀	Хвильовий опір вакууму	√(μ₀/ε₀) ≈ 376.73 Ом

🌍 Системи одиниць: СІ та СГСЕ

Система СІ

∇·E = ρ/ε₀

∇·B = 0

∇×E = −∂B/∂t

∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t

Система СГСЕ (Гаусова)

∇·E = 4πρ

∇·B = 0

∇×E = −(1/c)∂B/∂t

∇×B = (4π/c)J + (1/c)∂E/∂t

🧲 У матеріальному середовищі

Макроскопічні поля

∇·D = ρ_вільн

∇·B = 0

∇×E = −∂B/∂t

∇×H = J_вільн + ∂D/∂t

Матеріальні рівняння

D = ε ε₀ E (або D = ε₀E + P)

B = μ μ₀ H (або B = μ₀(H+M))

J = σ E ← закон Ома (мікро)

n = √(εμ) ← показник залом.

📊 Похідні формули

Хвильове рівняння (вакуум)

∇²E − (1/c²)∂²E/∂t² = 0

Аналогічно для B. Виводиться з ∇×(∇×E)=… маючи на увазі ∇·E=0.

Вектор Пойнтінга

S⃗ = (1/μ₀)E⃗ × B⃗ [Вт/м²]

Щільність потоку ЕМ енергії. Теорема: ∂u/∂t + ∇·S⃗ = −J⃗·E⃗.

Рівняння неперервності

∂ρ/∂t + ∇·J⃗ = 0

Збереження заряду. Виводиться беручи ∇· від рівняння Ампера-Максвелла.

ЕМ імпульс і тиск

g⃗ = S⃗/c² , P_рад = I/c

Щільність імпульсу g⃗=ε₀(E⃗×B⃗). Тиск при повному поглинанні.

Умови на межі розділу

n̂×(E₂−E₁) = 0, n̂×(H₂−H₁) = K⃗_s

n̂·(D₂−D₁)=σ_s; n̂·(B₂−B₁)=0. σ_s — поверхн. заряд, K⃗_s — поверхневий струм.

Лоренцева сила (повна)

F⃗ = q(E⃗ + v⃗ × B⃗)

Поєднує рівняння поля з рухом частинки. З F=ma і Максвеллом → повна КЕД.

Курс: Електродинаміка Цикли термодинаміки Тест: Електромагнетизм Хвильове рівняння ↩ Всі формули

Про ці формули

Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.

Ключові формули математичного аналізу: похідні, інтеграли, ряди, граничні переходи та теореми про середнє значення — фундамент кількісного опису природи.

Як застосовувати формули

Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.

Часті запитання (FAQ)

Які основні формули охоплює цей розділ з рівняння максвелла?

Розділ 'Рівняння Максвелла' містить: похідна (f'(x)), інтеграл (∫f(x)dx), формула Ньютона-Лейбніца, ряди Тейлора та Маклорена, правило Лопіталя. Кожна формула подана у загальному вигляді з поясненням позначень та умовами застосування.

Як правильно застосовувати формули з рівняння максвелла?

Перед підстановкою чисел у формулу переконайтесь: (1) всі величини в одних одиницях, (2) ви зрозуміли фізичний або математичний сенс кожного символу, (3) результат має правильну розмірність. Це три кроки, що запобігають 90% помилок.

Де в реальному житті використовуються формули рівняння максвелла?

Формули рівняння максвелла застосовуються в: фізиці (рух, хвилі), інженерії (оптимізація, моделювання), економіці (граничні витрати), медицині (фармакокінетика) та ComputerScience (градієнтний спуск у ML). Знання цих співвідношень є обов'язковим для інженерів, науковців та студентів відповідних спеціальностей.

Які типові помилки роблять при роботі з формулами рівняння максвелла?

Найчастіші помилки: плутанина з одиницями вимірювання, неправильне трактування умов застосування формули, арифметичні прорахунки при підстановці. Завжди перевіряйте розмірність результату та порівнюйте з очікуваним порядком величини.

Як перевірити правильність формули рівняння максвелла?

Для перевірки: (1) перевірте розмірність (всі доданки мають однакову розмірність), (2) підставте граничні випадки (нулі, нескінченність), (3) звіртеся з результатом онлайн-калькулятора на calculator.party.

Рівняння Максвелла

Про ці формули

Як застосовувати формули

Часті запитання (FAQ)

🔗 Також за темою