Квантова механіка — формули: рівняння Шредінгера, принцип невизначеності, оператори

📐 Основні рівняння Шредінгера

Нестаціонарне рівняння Шредінгера

Описує еволюцію квантового стану з часом. ψ = ψ(r,t) — хвильова функція; Ĥ — оператор Гамільтона; ℏ = h/2π ≈ 1,055×10⁻³⁴ Дж·с.

iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ

Стаціонарне рівняння Шредінгера

Для стаціонарних станів ψ(r,t) = φ(r)·e^(−iEt/ℏ). Власні значення Ĥ дають дискретні рівні енергії.

Ĥφ = Eφ

Оператор Гамільтона (у просторі)

∇² — оператор Лапласа; m — маса частинки; V(r) — потенційна енергія. Перший доданок — кінетична, другий — потенційна.

Ĥ = −ℏ²∇²/(2m) + V(r)

Борнівська інтерпретація

|ψ(r,t)|² — щільність ймовірності знайти частинку в точці r. Нормування: ∫|ψ|²dV = 1 (частинка десь є).

P(r,t) = |ψ(r,t)|²

🎲 Принцип невизначеності Гейзенберга

Пара величин	Співвідношення	Примітка
Координата x — Імпульс pₓ	ΔxΔpₓ ≥ ℏ/2	Основна форма; мінімум для гауссівського пакету
Енергія E — Час t	ΔEΔt ≥ ℏ/2	Ширина рівня: Γ = ℏ/τ (τ — час життя)
Кут φ — Момент Lz	ΔφΔLz ≥ ℏ/2	Узагальнення на кутові величини
Комутатор (матр. форма)	[x̂, p̂] = iℏ	Фундаментальне квантово-механічне співвідношення

🌊 Хвиля де Бройля та квантові числа

Величина	Формула	Примітка
Довжина хвилі де Бройля	λ = h/p = h/(mv)	h = 6,626×10⁻³⁴ Дж·с; справедливо для релятивістського: p = γmv
Хвильовий вектор	k = p/ℏ = 2π/λ	Для плоскої хвилі: ψ = e^(i(k·r−ωt))
Кутова частота	ω = E/ℏ = 2πν	Релація де Бройля: E = ℏω
Фазова швидкість	v_фаз = ω/k = E/p	Групова: v_гр = dω/dk = p/m (= v частинки)

🔢 Квантові числа атома водню

Головне квантове число

n = 1, 2, 3, ... ∞
Визначає енергію рівня

Орбітальне (азимутальне)

l = 0, 1, ..., n−1
Форма орбіталі: s,p,d,f

mₗ

Магнітне квантове

mₗ = −l, ..., 0, ..., +l
Орієнтація у полі

Спінове квантове

ms = ±1/2
Спін електрона ↑ або ↓

⚛️ Атом водню — ключові формули

Рівні енергії

n = 1 — основний стан (−13,6 еВ); n → ∞: E → 0 (іонізація). The Rydberg constant R∞ ≈ 1,097×10⁷ м⁻¹.

Eₙ = −13,6/n² еВ

Боровський радіус (n-й рівень)

a₀ = 0,529 Å — перший боровський радіус (n=1). Ядро: протон; нейтральний водень.

rₙ = n²·a₀

Серія Бальмера (видимий спектр)

m = 2; k = 3,4,5,...; λ — 400–700 нм. Серія Ляймана: m=1 (UV); Пашена: m=3 (IR).

1/λ = R∞·(1/m² − 1/k²)

🧮 Операторний формалізм

Оператор	Визначення	Власні значення
Координата x̂	x̂ψ = x·ψ	Множення на x
Імпульс p̂	p̂ = −iℏ∇	В координатному поданні
Кінетична енергія T̂	T̂ = p̂²/(2m) = −ℏ²∇²/(2m)	Лапласіан від хвил. функції
Момент кількості руху L̂z	L̂z = −iℏ ∂/∂φ	Власн. знач.: ℏ·mₗ
Середнє значення ⟨A⟩	⟨A⟩ = ∫ψ*·Â·ψ dV	Вимірюване = середнє по ансамблю

Формула Ейлера Перетворення Фур'є Шредінгер Гейзенберг ↩ Усі формули

Про ці формули

Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.

Квантова механіка описує природу на атомному та субатомному рівнях.

Як застосовувати формули

Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.

Часті запитання (FAQ)

Які основні формули охоплює цей розділ з квантова механіка?

Розділ 'Квантова механіка' містить: основні формули, означення та теореми, що є стандартом університетської програми. Кожна формула подана у загальному вигляді з поясненням позначень та умовами застосування.

Як правильно застосовувати формули з квантова механіка?

Перед підстановкою чисел у формулу переконайтесь: (1) всі величини в одних одиницях, (2) ви зрозуміли фізичний або математичний сенс кожного символу, (3) результат має правильну розмірність. Це три кроки, що запобігають 90% помилок.

Де в реальному житті використовуються формули квантова механіка?

Формули квантова механіка застосовуються в: напівпровідниковій електроніці, лазерах, квантових обчисленнях та медичній діагностиці (МРТ). Знання цих співвідношень є обов'язковим для інженерів, науковців та студентів відповідних спеціальностей.

Які типові помилки роблять при роботі з формулами квантова механіка?

Найчастіші помилки: плутанина з одиницями вимірювання, неправильне трактування умов застосування формули, арифметичні прорахунки при підстановці. Завжди перевіряйте розмірність результату та порівнюйте з очікуваним порядком величини.

Як перевірити правильність формули квантова механіка?

Для перевірки: (1) перевірте розмірність (всі доданки мають однакову розмірність), (2) підставте граничні випадки (нулі, нескінченність), (3) звіртеся з результатом онлайн-калькулятора на calculator.party.

Квантова механіка — формули

Про ці формули

Як застосовувати формули

Часті запитання (FAQ)

🔗 Також за темою