🌊 Рівняння Шредінгера
Основне рівняння квантової механіки, сформульоване Ервіном Шредінгером у 1926 р. Описує еволюцію квантового стану системи в часі — квантовий аналог другого закону Ньютона.
📖 Розшифрування символів
Повна форма рівняння
| Символ | Назва | Пояснення |
|---|---|---|
i | Уявна одиниця | i² = −1; вказує на хвильову природу квантової механіки |
ℏ | Редукована стала Планка | ℏ = h/(2π) ≈ 1.055×10⁻³⁴ Дж·с |
ψ(r,t) | Хвильова функція | Комплекснозначна функція; |ψ|² — ймовірність знайти частинку в точці r |
∂/∂t | Часткова похідна по t | Зміна хвильової функції з часом |
Ĥ | Оператор Гамільтона | Відповідає повній енергії системи: Ĥ = T̂ + V̂ |
T̂ | Оператор кінетичної енергії | T̂ = −ℏ²/(2m) · ∇² |
V̂ | Оператор потенціальної енергії | V̂ = V(r) — залежить від задачі |
∇² | Оператор Лапласа | ∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² |
Явний вигляд для однієї частинки
В одному вимірі:
🎲 Хвильова функція та імовірнісна інтерпретація
Борнівська інтерпретація
Хвильова функція ψ сама по собі не має прямого фізичного сенсу, але |ψ(r,t)|² — це щільність імовірності знайти частинку в точці r у момент t:
📐 Умова нормування
Оскільки частинка має бути десь у просторі, інтеграл ймовірності по всьому простору дорівнює 1: ∫|ψ|² d³r = 1
⚡ Стаціонарне рівняння Шредінгера
Розділення змінних
Якщо потенціал V не залежить від часу, хвильова функція розкладається як ψ(r,t) = φ(r)·e−iEt/ℏ, і часова частина відокремлюється. Отримуємо стаціонарне рівняння Шредінгера:
В одному вимірі:
Фізичний сенс
Стаціонарні стани — це квантові стани з визначеною енергією E. В атомі водню рішення дають дискретний спектр рівнів: En = −13.6 еВ / n².
Вимірювання енергії дасть одне з допустимих значень En — це пояснює квантування енергії.
✏️ Класичні задачі квантової механіки
📌 Приклад 1: Частинка в нескінченно глибокій ямі (1D)
Рівняння: −ℏ²/2m · d²φ/dx² = E·φ при 0<x<L
Граничні умови: φ(0)=φ(L)=0 → рішення: φn(x) = √(2/L)·sin(nπx/L)
Дискретні рівні енергії:
En = n²π²ℏ² / (2mL²), n = 1, 2, 3, …
📌 Приклад 2: Рівні енергії атома водню
Рішення стаціонарного рівняння Шредінгера для задачі двох тіл дає:
En = −13.6 еВ / n², n = 1, 2, 3, …
Основний стан (n=1): E₁ = −13.6 еВ — мінімальна енергія електрона
📌 Приклад 3: Квантовий осцилятор
Розв'язок через поліноми Ерміта:
En = ℏω(n + ½), n = 0, 1, 2, …
При n=0: E₀ = ½ℏω — "нульові коливання" (навіть у основному стані є енергія!).
⬆️ Перші енергетичні рівні в ямі (E₁ = 1)
🚇 Тунельний ефект
Квантове тунелювання
Класично частинка не може подолати бар'єр вищий за її енергію. Квантово — хвильова функція екпоненціально загасає в бар'єрі, але не обнуляється:
📡 Реальні приклади тунелювання
Тунельний мікроскоп (STM) — вимірює тунельний струм між голкою і поверхнею;
Ядерний синтез у зірках — протони долають кулонівський бар'єр завдяки тунелюванню;
Транзистори — тунелювання електронів обмежує мінімальний розмір транзистора.
🌍 Застосування квантової механіки
💻 Напівпровідники
Зонна структура кристалів, транзистори, діоди — все базується на стаціонарному рівнянні Шредінгера для пе ріодичного потенціалу.
⚛️ Хімічний зв'язок
Молекулярні орбіталі, валентна теорія, хімічні реакції — квантова хімія будується на рівнянні Шредінгера для молекул.
🔭 Лазери
Дискретні рівні енергії атомів → спонтанне та вимушене випромінювання → принцип дії лазера та LED.
🏥 МРТ
Ядерний магнітний резонанс — квантово-механічне прецесування спінів ядер у магнітному полі. Основа медичної томографії.
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Квантова механіка описує природу на атомному та субатомному рівнях.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.