📐 Закон синусів і косинусів
Універсальні інструменти для розв'язання довільного трикутника — знаходження сторін і кутів за будь-яким набором відомих елементів.
📖 Закон синусів
Формулювання
У будь-якому трикутнику ABC відношення сторони до синуса протилежного кута однакове для всіх трьох пар і дорівнює діаметру описаного кола:
Закон можна записати у двох корисних формах:
- Пошук сторони: a = 2R·sin A
- Пошук кута: sin A = a/(2R)
- Пропорція: a/sin A = b/sin B → b = a·sin B/sin A
Коли застосовувати закон синусів?
- Відома одна сторона і два кути (AAS або ASA)
- Відомі дві сторони і кут навпроти однієї з них (SSA — «неоднозначний випадок»)
- Потрібно знайти радіус описаного кола R
📖 Закон косинусів
Формулювання
Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:
Зв'язок з теоремою Піфагора: якщо C = 90°, то cos C = 0 і формула перетворюється на c² = a² + b². Закон косинусів — це узагальнення теореми Піфагора!
Коли застосовувати закон косинусів?
- Відомі три сторони (SSS) → знайти будь-який кут
- Відомі дві сторони і кут між ними (SAS) → знайти третю сторону
- Закон синусів не працює (нема відомого кута навпроти відомої сторони)
✏️ Приклади розрахунків
📌 Приклад 1 (Закон синусів): Знайти сторону
За законом синусів: b = a·sin B/sin A
b = 8·sin 45°/sin 30° = 8·(√2/2)/(1/2) = 8·√2 ≈ 11.31
📌 Приклад 2 (Закон косинусів): Знайти третю сторону
c² = a² + b² − 2ab·cos C
c² = 25 + 49 − 2·5·7·cos 60° = 74 − 70·0.5 = 74 − 35 = 39
c = √39 ≈ 6.24
📌 Приклад 3 (Закон косинусів): Знайти кут
Найбільший кут навпроти найбільшої сторони c = 10.
cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) = (36 + 64 − 100)/(2·6·8) = 0/96 = 0
C = arccos(0) = 90°
🌍 Застосування
🗺️ Тригонометрична зйомка
Геодезисти вимірюють відстань між пунктами, недоступними для прямого вимірювання. Із двох відомих точок вимірюють кути на третю — і за законом синусів знаходять відстані.
✈️ Авіанавігація
Розрахунок курсу при боковому вітрі. Вектори швидкості літака і вітру утворюють трикутник, розв'язуваний за законом синусів або косинусів.
⚓ Морська навігація
Визначення місцеположення судна за пеленгами двох маяків. Класичний метод тріангуляції заснований на законі синусів.
🔭 Астрономія
Паралактичний метод вимірювання відстаней до зірок. Земна орбіта — «база», а законом синусів знаходять відстань до зорі за паралаксом.
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Ключові формули: теорема Піфагора, формули тригонометрії, площі та об'єми тіл, рівняння кіл та еліпсів.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.