Якщо підінтегральна функція містить складену функцію — вводять нову змінну t = g(x).
∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(t) dt, де t = g(x)
Приклад:
∫ 2x·e^(x²) dx
t = x², dt = 2x dx
= ∫ eᵗ dt = eᵗ + C = e^(x²) + C
📌 2. Інтегрування частинами
Використовується для добутків функцій різних типів. Вибір u та dv: ILATE (Inverse trig, Logarithm, Algebraic, Trig, Exponential) — u вибирається першим.
∫ u dv = u·v − ∫ v du
Приклад:
∫ x·eˣ dx
u = x → du = dx
dv = eˣ dx → v = eˣ
= x·eˣ − ∫ eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x−1) + C
📌 3. Розклад на часткові дроби
Застосовується для інтегрування раціональних дробів P(x)/Q(x), де deg(P) < deg(Q).
P(x)/((x−a)(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−b)
A = P(a)/(a−b); B = P(b)/(b−a)
Приклад:
∫ 1/(x²−1) dx = ∫ [1/(2(x−1)) − 1/(2(x+1))] dx
= (1/2)·ln|x−1| − (1/2)·ln|x+1| + C
= (1/2)·ln|(x−1)/(x+1)| + C
∫ √(1−x²) dx
x = sin θ, dx = cos θ dθ
= ∫ cos²θ dθ = (θ/2 + sin(2θ)/4) + C
= (1/2)·arcsin x + (1/2)·x√(1−x²) + C
💡 Як обрати метод: спочатку перевірте таблицю → якщо є вкладена функція — підстановка → якщо добуток — частини → якщо дріб — часткові дроби → якщо є √(a²±x²) — тригонометрична підстановка.
Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.
Шпаргалка з матаналізу охоплює: правила диференціювання (добутку, частки, ланцюгове), таблицю похідних елементарних функцій, методи інтегрування (заміна змінної, частинне інтегрування), правила Лопіталя та ряди Тейлора.
Ефективне використання
Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.
Часті запитання (FAQ)
Які ключові формули та правила містить шпаргалка з методи інтегрування?
Ця шпаргалка з 'Методи інтегрування' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.
Для кого призначена ця шпаргалка з методи інтегрування?
Шпаргалка з 'Методи інтегрування' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.
Як використовувати шпаргалку з методи інтегрування при підготовці до іспиту?
Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.
Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з методи інтегрування?
Шпаргалка з 'Методи інтегрування' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.
Де ще можна попрактикуватися з методи інтегрування після вивчення шпаргалки?
Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.