📐 Аналітична геометрія · 5 задач

Аналітична геометрія: розв'язані задачі

Пряма, коло, еліпс, парабола — рівняння кривих та відстані. Покроковий розбір

Задача 1
Рівняння прямої через дві точки та відстань від точки до прямої
Умова. Через точки A(1, 3) і B(5, −1) проведена пряма.
а) Запишіть рівняння прямої.   б) Знайдіть відстань від точки C(4, 6) до цієї прямої.
1
Рівняння прямої через A(x₁,y₁) і B(x₂,y₂): (y−y₁)/(y₂−y₁) = (x−x₁)/(x₂−x₁)
(y−3)/(−1−3) = (x−1)/(5−1) → (y−3)/(−4) = (x−1)/4
2
Перехресне множення: 4(y−3) = −4(x−1) → 4y−12 = −4x+4 → 4x+4y = 16
x + y − 4 = 0
3
Відстань від C(4,6) до прямої Ax+By+C=0: d = |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²)
d = |1·4 + 1·6 − 4| / √(1²+1²) = |4+6−4| / √2 = 6/√2 = 3√2
ВідповідьРівняння прямої: x + y − 4 = 0  |  d(C) = 3√2 ≈ 4.24
Задача 2
Рівняння кола та переріз двох кіл
Умова. Коло k₁: центр O₁(2,−1), радіус r₁=5. Коло k₂: x²+y²−4x+6y−12=0.
а) Запишіть k₁ у стандартному вигляді. б) Знайдіть центр і радіус k₂. в) Скільки спільних точок мають кола?
1
а) Стандартне рівняння: (x−a)²+(y−b)²=r²
k₁: (x−2)² + (y+1)² = 25
2
б) k₂: видiляємо повні квадрати: x²−4x+4 + y²+6y+9 = 12+4+9
(x−2)² + (y+3)² = 25  → O₂(2, −3), r₂ = 5
3
в) Відстань між центрами: d = |O₁O₂| = √((2−2)²+(−1−(−3))²) = √(0+4) = 2
4
|r₁−r₂| = 0 ≤ d=2 ≤ r₁+r₂=10 → кола перетинаються у двох точках.
ВідповідьO₂(2, −3), r₂=5. Відстань d=2 < r₁+r₂=10 → два перетини.
Задача 3
Еліпс: півосі, фокуси, ексцентриситет
Умова. Еліпс: 9x² + 25y² = 225. Знайдіть: напівосі a, b; фокуси F₁, F₂; ексцентриситет e; рівняння директрис.
1
Ділимо на 225 → x²/25 + y²/9 = 1; a²=25, b²=9 → a=5, b=3
x²/25 + y²/9 = 1   (a=5 > b=3)
2
Фокусна відстань: c = √(a²−b²) = √(25−9) = √16 = 4
F₁(−4, 0) і F₂(4, 0)
3
Ексцентриситет: e = c/a = 4/5 = 0.8  (0 < e < 1 — справді еліпс)
4
Директриси (вертикальні прямі): x = ±a²/c = ±25/4
x = +6.25   та   x = −6.25
Відповідьa=5, b=3, c=4; F₁(−4,0) та F₂(4,0); e=0.8; директриси x=±6.25
Задача 4
Парабола: вершина, фокус, директриса
Умова. Дано параболу y² = 12x. Знайдіть вершину, фокус, директрису, а також точку на параболі з абсцисою x = 3.
1
Стандартна форма y²=4px → 4p=12 → p=3 (параметр параболи)
2
Вершина: W(0, 0). Парабола відкривається вправо (коефіцієнт p>0)
3
Фокус: F(p, 0) = F(3, 0)
4
Директриса: x = −p = −3
5
При x=3: y²=12·3=36 → y=±6 → точки (3, 6) і (3, −6)
Перевірка: відстань до F = √((3−3)²+6²) = 6; відстань до директриси = 3−(−3) = 6 ✓
ВідповідьВершина (0,0); фокус F(3,0); директриса x=−3; при x=3: точки (3, ±6)
Задача 5
Гіпербола: асимптоти та перетин з прямою
Умова. Гіпербола x²/16 − y²/9 = 1. Знайдіть: a, b, c; асимптоти; кут між асимптотами; перевірте точку P(5, 9/4) на кривій.
1
a²=16 → a=4; b²=9 → b=3; c=√(a²+b²)=√(16+9)=√25=5
F₁(−5, 0) та F₂(5, 0); e = c/a = 5/4 = 1.25
2
Асимптоти гіперболи y = ±(b/a)x:
y = +(3/4)x   та   y = −(3/4)x
3
Кут між асимптотами: tan α = b/a = 3/4 → α = arctan(3/4) ≈ 36.87° → кут = 2α ≈ 73.7°
4
Підставляємо P(5, 9/4): 5²/16 − (9/4)²/9 = 25/16 − (81/16)/9 = 25/16 − 81/144 = 225/144 − 81/144 = 144/144 = 1 ✓
Відповідьa=4, b=3, c=5; асимптоти y=±(3/4)x; e=1.25; P(5, 9/4) лежить на гіперболі ✓
📐 Тренажер: Аналітична геометрія ⭕ Рівняння кола → Вектори 📋 Алгебра: шпаргалка

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Геометрія — інструмент для опису форм і просторових відношень у реальному світі.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з аналітична геометрія демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Аналітична геометрія': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з аналітична геометрія представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з аналітична геометрія найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок аналітична геометрія містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з аналітична геометрія допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Аналітична геометрія' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор диференціальної геометрії 💪 Тренажер: Аналітична геометрія 💪 Диференціальна Геометрія — Кривина, Геодезичні, Тензори 📖 Диференціальна геометрія: криві, поверхні, кривина Гаусса, геодезичні, теорема Гаусса-Боне