🔢 Лінійна алгебра

Матриці — розв'язані задачі

5 задач покроково: додавання, множення, визначник 3×3, обернена матриця, ранг

📐 Ключові формули
Множення матриць (i,j)(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ·bₖⱼ
Визначник 2×2det = ad − bc
Визначник 3×3 (Саррюс)det A = a₁₁(a₂₂a₃₃−a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃−a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂−a₂₂a₃₁)
Обернена матрицяA⁻¹ = adj(A) / det(A)
Ранг матриціrang(A) — макс. кількість лінійно незалежних рядків
Задача 1 — Додавання матриць
Знайти суму матриць A + B
A = | 1 2 3 | B = | 4 0 −1 | | 4 5 6 | | 2 3 1 |
1
Додаємо відповідні елементи: (A+B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ
Рядок 1: (1+4) (2+0) (3+−1) = 5 2 2 Рядок 2: (4+2) (5+3) (6+1) = 6 8 7
A + B = | 5 2 2 |
         | 6 8 7 |
💡 Матриці можна додавати лише якщо вони однакового розміру (m×n)
Задача 2 — Множення матриць
Знайти добуток A·B, де A — матриця 2×3, B — матриця 3×2
A = | 1 0 2 | B = | 1 2 | | 3 1 0 | | 0 1 | | 4 0 |
1
Перевіряємо сумісність: A(2×3)·B(3×2) → результат C(2×2). Стовпців A = рядків B = 3 ✓
2
Обчислюємо кожен елемент: c₁₁ = рядок₁(A) · стовп₁(B)
c₁₁ = 1·1 + 0·0 + 2·4 = 1 + 0 + 8 = 9 c₁₂ = 1·2 + 0·1 + 2·0 = 2 + 0 + 0 = 2 c₂₁ = 3·1 + 1·0 + 0·4 = 3 + 0 + 0 = 3 c₂₂ = 3·2 + 1·1 + 0·0 = 6 + 1 + 0 = 7
A·B = | 9 2 |
       | 3 7 |
💡 Множення матриць НЕ є комутативним: A·B ≠ B·A (у загальному випадку)
Задача 3 — Визначник матриці 3×3
Обчислити det(A) за правилом Саррюса
A = | 1 2 3 | | 0 4 5 | | 1 0 6 |
1
Розкладаємо по першому рядку
det = 1·(4·6 − 5·0) − 2·(0·6 − 5·1) + 3·(0·0 − 4·1)
2
Обчислюємо мінори 2×2
= 1·(24−0) − 2·(0−5) + 3·(0−4) = 1·24 − 2·(−5) + 3·(−4) = 24 + 10 − 12
det(A) = 22
💡 Якщо det(A) ≠ 0, матриця невироджена — обернена існує; якщо det = 0 — вироджена
Задача 4 — Обернена матриця 2×2
Знайти A⁻¹ для матриці 2×2
A = | 3 1 | | 5 2 |
1
Знаходимо визначник
det(A) = 3·2 − 1·5 = 6 − 5 = 1
2
Для 2×2: A⁻¹ = (1/det) · | d −b |
                                 | −c a |
A⁻¹ = (1/1) · | 2 −1 | = | 2 −1 | | −5 3 | | −5 3 |
3
Перевірка: A·A⁻¹ = I
|3 1|·| 2 −1| = |3·2+1·(−5) 3·(−1)+1·3| = |1 0| ✓ |5 2| |−5 3| |5·2+2·(−5) 5·(−1)+2·3| |0 1|
A⁻¹ = | 2 −1 |
        | −5 3 |
Задача 5 — Ранг матриці
Знайти ранг матриці методом елементарних перетворень
A = | 1 2 3 | | 2 4 6 | | 1 1 2 |
1
Застосовуємо елементарні перетворення рядків: R₂ → R₂ − 2·R₁, R₃ → R₃ − R₁
| 1 2 3 | | 1 2 3 | | 2 4 6 | → R₂−2R₁ → | 0 0 0 | | 1 1 2 | R₃−R₁ | 0 −1 −1 |
2
Обмінюємо R₂ та R₃ для зручності
| 1 2 3 | | 0 −1 −1 | | 0 0 0 |
3
Кількість ненульових рядків = 2 → ранг = 2. Матриця 3×3 з рангом 2 є виродженою (рядки 2 та 3 кратні у вихідній матриці)
rang(A) = 2 (рядок 2 = 2·рядок 1; рядки лінійно залежні)
💡 Ранг = кількість ненульових рядків у ступінчастій формі. rang(A) = 2 < 3 → det = 0 → система несумісна або має ∞ розв'язків
→ Вектори → Лінійні системи Тест лін.алгебра ↩ Усі задачі

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Розв'язки показують: метод Гауса для систем рівнянь, знаходження власних векторів, LU-розклад матриць.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з матриці демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Матриці': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з матриці представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з матриці найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок матриці містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з матриці допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Матриці' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор матриць 💪 Тренажер: Матриці