∂ Похідна по означенню
Похідна — миттєва швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту аргументу при прагненні приросту до нуля.
📖 Означення та позначення
Формальне означення
Похідна функції f в точці x — це границя:
Еквівалентне формулювання через точки x та a:
Позначення похідної
| Позначення | Автор | Читається |
|---|---|---|
| f′(x) | Лагранж | "f штрих від x" |
| dy/dx | Лейбніц | "де-у на де-ікс" |
| Df(x) | Ейлер | "D f від x" |
| ẏ | Ньютон | "y з точкою" (для часу) |
| ∂f/∂x | Лейбніц | часткова похідна по x |
Умови існування похідної
Функція f диференційовна в точці x, якщо:
- Границя limΔx→0⁺ і limΔx→0⁻ обидві існують та рівні між собою
- Функція є неперервною в цій точці (необхідна, але недостатня умова)
- Графік функції не має кутових точок, розривів чи вертикальних дотичних
⚠️ Важливо: неперервність ≠ диференційовність
Функція |x| неперервна у всіх точках, але в точці x=0 не має похідної — ліва та права границі різні: −1 та +1.
📐 Геометричний та фізичний сенс
Нахил дотичної
Геометрично похідна f′(x₀) — це кутовий коефіцієнт (тангенс кута нахилу) дотичної до графіка функції в точці x₀:
Рівняння дотичної в точці (x₀, f(x₀)):
Фізичний сенс — миттєва швидкість
Якщо s(t) — координата тіла в момент часу t, то похідна:
Аналогічно: a(t) = v′(t) = s″(t) — миттєве прискорення.
✏️ Приклади розрахунків по означенню
📌 Приклад 1: Похідна f(x) = x²
- Записуємо приріст: f(x+Δx) = (x+Δx)² = x² + 2x·Δx + Δx² Δf = f(x+Δx) − f(x) = 2x·Δx + Δx²
- Ділимо на Δx: Δf/Δx = 2x + Δx
- Беремо границю при Δx → 0: f′(x) = limΔx→0(2x + Δx) = 2x
📌 Приклад 2: Похідна f(x) = √x
- Записуємо відношення: (√(x+Δx) − √x) / Δx
- Множимо чисельник і знаменник на (√(x+Δx) + √x): = (x+Δx − x) / [Δx·(√(x+Δx) + √x)] = 1 / (√(x+Δx) + √x)
- Беремо границю при Δx → 0: f′(x) = 1 / (√x + √x) = 1 / (2√x)
📌 Приклад 3: Похідна f(x) = sin x
- Записуємо різницю за формулою різниці синусів: sin(x+Δx) − sin x = 2·cos(x + Δx/2)·sin(Δx/2)
- Ділимо на Δx і перетворюємо: = cos(x + Δx/2) · sin(Δx/2)/(Δx/2)
- При Δx→0: sin(Δx/2)/(Δx/2) → 1 та cos(x+Δx/2) → cos x: f′(x) = cos x · 1 = cos x
📌 Приклад 4: Дотична до параболи
f′(x) = 2x − 3 → f′(2) = 4 − 3 = 1 (кутовий коефіцієнт)
f(2) = 4 − 6 + 2 = 0 (точка дотику)
Рівняння: y = 0 + 1·(x − 2) = x − 2
🌍 Застосування
⚡ Фізика
Швидкість (похідна координати), прискорення (похідна швидкості), потужність (похідна енергії). Усі закони руху виражаються через похідні.
📈 Економіка
Гранична вартість, гранична корисність, оптимізація прибутку. Знаходження екстремумів функцій витрат та доходу.
💻 Machine Learning
Градієнтний спуск — основа навчання нейромереж. Похідна функції втрат вказує напрям оновлення ваг моделі.
🏗️ Інженерія
Аналіз напружень, теплопередача, аеродинаміка — всюди диференціальні рівняння з похідними різних порядків.
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Ключові формули математичного аналізу: похідні, інтеграли, ряди, граничні переходи та теореми про середнє значення — фундамент кількісного опису природи.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.