Теорія ймовірностей

1. Аксіоми та базові формули

Назва	Формула	Умова
Класична ймовірність	P(A) = m / n	m — сприятливі, n — всі
Доповнення	P(Ā) = 1 − P(A)	—
Сума (несумісні)	P(A∪B) = P(A) + P(B)	A∩B = ∅
Сума (сумісні)	P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)	—
Добуток (незалежні)	P(A∩B) = P(A) · P(B)	A, B незал.
Умовна ймовірність	P(A\|B) = P(A∩B) / P(B)	P(B) > 0
Добуток (залежні)	P(A∩B) = P(A) · P(B\|A)	—

2. Повна ймовірність і теорема Байєса

Формула	Вигляд
Формула повної ймовірності	P(A) = Σ P(Hᵢ)·P(A\|Hᵢ)
Теорема Байєса	P(Hₖ\|A) = P(Hₖ)·P(A\|Hₖ) / P(A)

Приклад: хвороба та тест

P(хвороба) = 0.01; P(+|хвора) = 0.99; P(+|здорова) = 0.02

P(A) = 0.01·0.99 + 0.99·0.02 = 0.0099 + 0.0198 = 0.0297

P(хвора|+) = (0.01·0.99)/0.0297 ≈ 33.3%

Хоча тест точний, позитивний результат не означає хвороби (базовий рівень низький).

3. Дискретні розподіли

Розподіл Бернуллі (одна спроба)
P(X=1)	= p
P(X=0)	= 1−p = q
E(X)	= p
D(X)	= pq

Бінomial Bi(n, p)
P(X=k)	= C(n,k)·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ
E(X)	= np
D(X)	= npq
Умова	n спроб, p = const

Розподіл Пуасона Po(λ)
P(X=k)	= λᵏ·e⁻λ / k!
E(X)	= λ
D(X)	= λ
Умова	рідкі події, λ = np, n→∞, p→0

Геометричний розподіл
P(X=k)	= q^(k−1)·p
E(X)	= 1/p
D(X)	= q/p²
Умова	1-й успіх на k-й спробі

4. Неперервні розподіли

Розподіл	Щільність f(x)	E(X)	D(X)
Рівномірний U(a,b)	1/(b−a), x∈[a,b]	(a+b)/2	(b−a)²/12
Нормальний N(μ,σ²)	(1/σ√(2π))·e^(−(x−μ)²/2σ²)	μ	σ²
Експоненційний Exp(λ)	λ·e^(−λx), x≥0	1/λ	1/λ²

5. Математичне сподівання і дисперсія

Характеристика	Дискретний X	Неперервний X
Математичне сподівання	E(X) = Σ xᵢ·pᵢ	E(X) = ∫ x·f(x)dx
Дисперсія	D(X) = E(X²)−[E(X)]²	D(X) = ∫(x−μ)²f(x)dx
Стандартне відхилення	σ = √D(X)	σ = √D(X)
Лінійність E	E(aX+b) = aE(X)+b	—
D незалежних	D(X+Y) = D(X)+D(Y)	X, Y незалежні

6. ЦГТ та закон великих чисел

Теорема	Зміст
Центральна гранична теорема (ЦГТ)	(X̄−μ)/(σ/√n) → N(0,1) при n→∞
Квантилі N(0,1): 95%	P(\|Z\|<1.96) ≈ 0.95
Квантилі N(0,1): 99%	P(\|Z\|<2.576) ≈ 0.99
ЗВЧ (Чебишев)	P(\|X̄−μ\|>ε) ≤ σ²/(nε²)

📝 Розв'язані задачі Формули математики Алгебра ↩ Усі шпаргалки

Як користуватися шпаргалкою

Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.

Шпаргалка охоплює: міри центральної тенденції (середнє, медіана), дисперсію, стандартне відхилення, довірчі інтервали, t-тест, хі-квадрат, регресію та кореляцію.

Ефективне використання

Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.

Часті запитання (FAQ)

Які ключові формули та правила містить шпаргалка з теорія ймовірностей?

Ця шпаргалка з 'Теорія ймовірностей' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.

Для кого призначена ця шпаргалка з теорія ймовірностей?

Шпаргалка з 'Теорія ймовірностей' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.

Як використовувати шпаргалку з теорія ймовірностей при підготовці до іспиту?

Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.

Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з теорія ймовірностей?

Шпаргалка з 'Теорія ймовірностей' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.

Де ще можна попрактикуватися з теорія ймовірностей після вивчення шпаргалки?

Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.