Електричні кола: розв'язані задачі

Задача 1

Закони Кірхгофа: розгалужене коло

Два джерела з ЕРС ε₁=12В, ε₂=8В і внутр. опорами r₁=r₂=1Ом з'єднані паралельно через зовнішній опір R=4Ом. Знайти струми у кожній гілці.

Крок 1: Позначаємо струми та складаємо рівняння Кірхгофа

Вузлове правило (1-й закон): I₁ + I₂ = I₃ Контур 1 (ліволіч): ε₁ = I₁·r₁ + I₃·R → 12 = I₁·1 + I₃·4 Контур 2: ε₂ = I₂·r₂ + I₃·R → 8 = I₂·1 + I₃·4

Крок 2: Розв'язуємо систему трьох рівнянь

З рівнянь: I₁ = 12 − 4I₃; I₂ = 8 − 4I₃ Підставляємо в I₁+I₂=I₃: (12-4I₃)+(8-4I₃) = I₃ → 20 = 9I₃ I₃ = 20/9 ≈ 2,22 А

Крок 3: Знаходимо I₁ та I₂

I₁ = 12 − 4·(20/9) = 12 − 80/9 = 28/9 ≈ 3,11 А I₂ = 8 − 4·(20/9) = 8 − 80/9 = −8/9 ≈ −0,89 А

Від'ємний I₂ означає, що струм у другому джерелі тече у зворотному до обраного напрямку (ε₂ заряджається від ε₁).

✅ I₁ ≈ 3,11 А; I₂ ≈ −0,89 А (генерується); I₃ ≈ 2,22 А через R=4Ом (U_R = 2,22·4 ≈ 8,89 В)

Задача 2

RC-ланцюг: зарядка та часова стала

RC-ланцюг: R=10кОм, C=100мкФ. Конденсатор незаряджений. Підключають U=12В. Знайти: а) часову сталу τ, б) U_C через час t=τ та t=3τ, в) струм відразу після підключення.

Крок 1: Часова стала RC

τ = R · C = 10×10³ Ом · 100×10⁻⁶ Ф = 1 с

Крок 2: Напруга на конденсаторі під час зарядки

U_C(t) = U · (1 − e^(−t/τ)) При t=τ: U_C = 12·(1 − e⁻¹) = 12·(1 − 0,368) = 12·0,632 = 7,58 В ≈ 63,2% від U При t=3τ: U_C = 12·(1 − e⁻³) = 12·0,950 = 11,4 В ≈ 95% від U При t=5τ: U_C ≈ 12·0,993 ≈ 99,3% — вважається повністю зарядженим

Крок 3: Струм зарядки

i(t) = (U/R)·e^(−t/τ) При t=0: i_max = 12/(10×10³) = 1,2 мА При t=τ: i = 1,2·e⁻¹ = 0,441 мА ≈ 37% від max

✅ τ = RC = 1 с; U_C(τ) = 7,58 В (63,2%); U_C(3τ) = 11,4 В (95%); i(0) = 1,2 мА

Задача 3

RLC-резонанс послідовного кола

Послідовне RLC-коло: R=50Ом, L=100мГн, C=10мкФ. Знайти: а) резонансну частоту f₀, б) добротність Q, в) ширину смуги пропускання Δf, г) Z при резонансі.

Крок 1: Резонансна частота

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1 · 10×10⁻⁶) = 1/√(10⁻⁶) = 1000 рад/с f₀ = ω₀/(2π) = 1000/(2π) ≈ 159 Гц

Крок 2: Характеристичний опір та добротність

ρ = √(L/C) = √(0,1/10⁻⁵) = √10000 = 100 Ом Q = ρ/R = 100/50 = 2 (також: Q = ω₀L/R = 1000·0,1/50 = 2)

Крок 3: Смуга пропускання та Z при резонансі

Δf = f₀/Q = 159/2 = 79,5 Гц (або Δω = R/L = 50/0,1 = 500 рад/с) При резонансі X_L = X_C → реактивний опір = 0 Z_рез = R = 50 Ом (мінімальний опір → максимальний струм)

✅ f₀ ≈ 159 Гц; Q = 2; Δf = 79,5 Гц; Z_рез = R = 50 Ом (при резонансі струм максимальний)

Задача 4

Міст Уітстона: балансування та вимірювання

У мості Уітстона R₁=100Ом, R₂=200Ом, R₃=150Ом. При якому R₄ міст збалансований? Якщо R₄=305Ом, яке відхилення від балансу у %?

Крок 1: Умова балансу мосту

Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄ (струм через гальванометр = 0) R₄ = R₃ · R₂/R₁ = 150 · 200/100 = 300 Ом

Крок 2: Відносне відхилення при R₄=305Ом

ΔR₄ = 305 − 300 = 5 Ом Відносне відхилення: ΔR₄/R₄ = 5/300 ≈ 1,67%

Міст Уітстона дозволяє вимірювати опори з точністю до 0,01%. Застосовується в тензодатчиках, термісторах, датчиках тиску.

✅ R₄_балансу = 300 Ом; при R₄=305Ом відхилення = 1,67% від балансу

Задача 5

Теорема Нортона та Тевенена: еквівалентне коло

Між затискачами A-B знаходиться коло: джерело 24В (внутр. опір 2Ом) послідовно з резистором 4Ом, паралельно — резистор 6Ом. Знайти еквівалентне коло Тевенена (ε_th, R_th).

Крок 1: Напруга холостого ходу (ε_th = U_XX)

При розімкнених AB: R_зовн = ∞ → струм через 6Ом = 0 Струм у контурі: I = 24 / (2 + 4) = 4 А (тільки R₁=2 і R₂=4)

ε_th = U_AB = U на R₂ (6Ом паралельно з AB). Але струм через 6Ом=0 → U_AB = 24 − 4·2 = 16В

Крок 2: Вхідний опір (R_th) при загашених джерелах

Гасимо ЕРС (коротке замикання): 24В → 0 R_th = R₃ ∥ (R₁ + R₂) = 6 ∥ (2+4) = 6·6/(6+6) = 3 Ом

Крок 3: Еквівалент Тевенена

Тевенен: джерело ε_th=16В, внутр. опір R_th=3Ом

Будь-який лінійний ланцюг можна замінити еквівалентним: одним джерелом ε_th і послідовним опором R_th. Нортон: I_N=ε_th/R_th=16/3≈5,33А паралельно R_th.

✅ Тевенен: ε_th = 16 В, R_th = 3 Ом; Нортон: I_N ≈ 5,33 А, R_N = 3 Ом

Електростатика Електродинаміка Тест: ЕМ ↩ Розв'язані задачі

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з електричні кола демонструються на цій сторінці?

Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Електричні кола': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.

Якого рівня складності задачі з електричні кола представлені?

Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.

Як вчитися на розв'язаних задачах з електричні кола найефективніше?

Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.

Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?

Так, кожен розв'язок електричні кола містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.

Як ці задачі з електричні кола допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?

Розв'язані задачі з 'Електричні кола' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

Методика розв'язання

Як вчитися на прикладах

Часті запитання (FAQ)

🔗 Також за темою