Дилатація часу, скорочення довжини, E=mc², μ-мезони, парадокс близнюків
Задача 1
Дилатація часу: μ-мезони в атмосфері
Умова: Космічні μ-мезони утворюються на висоті h = 15 км і рухаються зі швидкістю v = 0,998·c. Власний час їхнього розпаду τ₀ = 2,2 мкс. Знайдіть: а) скільки часу вони летять у системі Землі; б) чи долітають до поверхні?
L = v·τ_лаб = 0,998·(3×10⁸)·34,8×10⁻⁶ ≈ 10 430 м ≈ 10,4 км
Без релятивістського ефекту: L₀ = 0,998·(3×10⁸)·2,2×10⁻⁶ ≈ 659 м — не долетіли б.
Відповідь: γ ≈ 15,82; τ_лаб ≈ 34,8 мкс. Мезони пролітають ~10,4 км — долітають до поверхні Землі, що й спостерігається експериментально. Класично вони бпролетіли б лише ~660 м.
Задача 2
Лоренцеве скорочення довжини
Умова: Космічний корабель має власну довжину L₀ = 300 м. Він летить зі швидкістю v = 0,8·c відносно Землі. а) Яку довжину L вимірюють на Землі? б) За який час корабель пролетить повз нерухомого спостерігача на Землі?
Класика занижує у 12,4 рази! При v → c класична механіка повністю хибна.
Відповідь: γ ≈ 7,09; p ≈ 3,53×10⁻¹⁸ кг·м/с; K ≈ 5 711 МеВ (класична: 460 МеВ — хибить у 12 разів).
Задача 4
Парадокс близнюків
Умова: Один з близнюків летить до зірки на відстані d = 4 св.роки зі швидкістю v = 0,8·c. Знайдіть: а) час польоту за годинником Землі; б) час власного часу астронавта; в) різницю у віці після повернення.
Крок 1 — γ = 5/3
γ = 1/√(1−0,64) = 5/3 ≈ 1,667
Крок 2 — Час за годинником Землі (туди + назад)
t_Земля = 2d/v = 2×4/0,8 = 10 років
Крок 3 — Власний час астронавта
τ_астр = t_Земля/γ = 10/1,667 = 6 років
Крок 4 — Різниця у віці
Δt = t_Земля − τ_астр = 10 − 6 = 4 роки
Парадокс вирішується: астронавт змінює систему відліку (неінерційна ділянка при розвороті), тому СТВ не симетрична тут. Астронавт молодший на 4 роки.
Відповідь: Земля: 10 років; астронавт: 6 років. Астронавт молодший на 4 роки після повернення.
Задача 5
E = mc²: ядерна реакція поділу урану
Умова: При поділі одного ядра ²³⁵U маса продуктів зменшується на Δm = 0,19 · 10⁻²⁷ кг. а) Знайдіть енергію, що виділяється в МеВ. б) Яка маса ²³⁵U потрібна для отримання 1 ГДж енергії?
Крок 1 — Дефект маси → енергія
E = Δm·c² = 0,19×10⁻²⁷ × (3×10⁸)² = 1,71×10⁻¹¹ Дж
E = 1,71×10⁻¹¹ / 1,6×10⁻¹³ ≈ 106,9 МеВ ≈ 107 МеВ
Крок 2 — Кількість ядер для 1 ГДж
N = E_потрібна / E_одного ядра = 10⁹ Дж / 1,71×10⁻¹¹ Дж = 5,85×10¹⁹ ядер
Крок 3 — Маса урану
m = N·M/Nₐ = 5,85×10¹⁹ × 235×10⁻³ / 6,022×10²³ ≈ 22,8×10⁻³ кг ≈ 22,8 г
Відповідь: E ≈ 107 МеВ на один поділ; для виробництва 1 ГДж потрібно лише ~22,8 г урану-235. (Порівняйте: вугілля для 1 ГДж — ~40 тонн!)
Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.
Теорія відносності описує простір, час та гравітацію в єдиній математичній системі.
Як вчитися на прикладах
Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.
Часті запитання (FAQ)
Які методи розв'язання задач з спеціальна теорія відносності демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Спеціальна теорія відносності': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з спеціальна теорія відносності представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з спеціальна теорія відносності найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок спеціальна теорія відносності містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з спеціальна теорія відносності допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Спеціальна теорія відносності' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.