Розв'язані задачі з квантової механіки: рівняння Шредінгера, рівень Бора, тунельний ефект

Задача 1

Рівні енергії атома водню (модель Бора)

Умова: Електрон в атомі водню переходить з рівня n = 4 на n = 2. а) Знайдіть енергію фотона E та його довжину хвилі λ. б) До якої серії спектру відноситься ця лінія?

Крок 1 — Формула Бора

Eₙ = −13,6 еВ / n²

E₄ = −13,6/16 = −0,850 еВ; E₂ = −13,6/4 = −3,400 еВ

Крок 2 — Енергія фотона

E_фотона = E₄ − E₂ = −0,850 − (−3,400) = 2,550 еВ = 4,08×10⁻¹⁹ Дж

Крок 3 — Довжина хвилі

λ = hc/E = (6,626×10⁻³⁴ × 3×10⁸) / 4,08×10⁻¹⁹ = 487,5 нм

Блакитно-зелена лінія. Формула Бальмера: 1/λ = R_H(1/2² − 1/4²) = R_H × 3/16; R_H = 1,097×10⁷ → λ = 486 нм ✓ (серія Бальмера)

Відповідь: E = 2,55 еВ; λ ≈ 487 нм — серія Бальмера, лінія Hβ (блакитно-зелена). Видима область спектра.

Задача 2

Хвиля де Бройля для електрона

Умова: Електрон (m = 9,11×10⁻³¹ кг) прискорений напругою U = 100 В. а) Знайдіть його довжину хвилі де Бройля. б) Порівняйте з міжатомними відстанями (~0,1–0,3 нм) — чи можлива дифракція на кристалах?

Крок 1 — Кінетична енергія та швидкість

K = eU = 1,6×10⁻¹⁹ × 100 = 1,6×10⁻¹⁷ Дж

v = √(2K/m) = √(2×1,6×10⁻¹⁷ / 9,11×10⁻³¹) ≈ 5,93×10⁶ м/с

Крок 2 — Імпульс та довжина хвилі

p = mv = 9,11×10⁻³¹ × 5,93×10⁶ = 5,40×10⁻²⁴ кг·м/с

λ = h/p = 6,626×10⁻³⁴ / 5,40×10⁻²⁴ = 1,227×10⁻¹⁰ м = 0,123 нм

Скорочена формула: λ = 1,226/√U нм (де U у вольтах). При U=100В: λ=1,226/10=0,1226 нм ✓

Крок 3 — Порівняння

λ = 0,123 нм ≈ міжатомні відстані 0,1–0,3 нм. Дифракція можлива! Підтверджено Девіссоном і Джермером у 1927 р. (дифракція електронів на Ni-кристалі).

Відповідь: λ = 0,123 нм — того ж порядку, що й міжатомні відстані. Дифракція на кристалах можлива. Це підтвердило хвильову природу електрона (Нобель 1937).

Задача 3

Нескінченна прямокутна потенційна яма

Умова: Електрон замкнений у нескінченній прямокутній ямі шириною a = 0,2 нм (модель атомного ядра). Знайдіть: а) рівні енергії E₁, E₂, E₃; б) довжину хвилі фотона при переході E₂→E₁.

Крок 1 — Формула рівнів

Eₙ = n²π²ℏ²/(2ma²) = n² × (6,02 еВ) при a = 0,2 нм

Підставляємо: ℏ=1,055×10⁻³⁴ Дж·с; m=9,11×10⁻³¹ кг; a=2×10⁻¹⁰ м

Крок 2 — Обчислення E₁

E₁ = π²(1,055×10⁻³⁴)² / (2×9,11×10⁻³¹×(2×10⁻¹⁰)²) = 9,64×10⁻¹⁹ Дж = 6,02 еВ

Крок 3 — Рівні E₁, E₂, E₃

E₁ = 1²×6,02 = 6,02 еВ

E₂ = 4×6,02 = 24,1 еВ

E₃ = 9×6,02 = 54,2 еВ

Крок 4 — Фотон при E₂→E₁

ΔE = E₂ − E₁ = 24,1 − 6,02 = 18,1 еВ = 2,90×10⁻¹⁸ Дж

λ = hc/ΔE = (6,626×10⁻³⁴ × 3×10⁸) / 2,90×10⁻¹⁸ = 68,5 нм (УФ-діапазон)

Відповідь: E₁=6,02 еВ, E₂=24,1 еВ, E₃=54,2 еВ; λ(E₂→E₁) ≈ 68,5 нм (ультрафіолет). Рівні зростають як n² — квантова яма.

Задача 4

Принцип невизначеності Гейзенберга

Умова: Електрон локалізований у ядрі (Δx ≈ 5×10⁻¹⁵ м). а) Знайдіть мінімальну невизначеність імпульсу Δp. б) Оцініть мінімальну кінетичну енергію електрона. в) Чому електрони не можуть перебувати в ядрі?

Крок 1 — Невизначеність імпульсу

Δp ≥ ℏ/(2Δx) = 1,055×10⁻³⁴ / (2×5×10⁻¹⁵) = 1,055×10⁻²⁰ кг·м/с

Крок 2 — Мінімальна кінетична енергія

K_min = (Δp)² / (2m) = (1,055×10⁻²⁰)² / (2×9,11×10⁻³¹) = 6,11×10⁻¹¹ Дж = 381 МеВ

Порівняємо: енергія зв'язку нуклону ~8 МеВ/нуклон — 381 МеВ >> 8 МеВ!

Крок 3 — Висновок

Щоб утримати електрон у ядрі, потрібна сила з енергією ~381 МеВ. Але ядерні сили дають лише ~8 МеВ/нуклон. Отже, електрони не можуть локалізуватися в ядрі — принцип невизначеності забороняє це.

Відповідь: Δp ≥ 1,05×10⁻²⁰ кг·м/с; K_min ≈ 381 МеВ >> сил ядерної взаємодії (~8 МеВ). Електрони не можуть існувати в ядрі — це доводить, що β-розпад не є «випуском ядерного електрона», а породженням нового.

Задача 5

Тунельний ефект через потенційний бар'єр

Умова: Електрон з енергією E = 2 еВ падає на прямокутний бар'єр висотою V₀ = 5 еВ за шириною a = 0,5 нм. Знайдіть коефіцієнт пропускання T.

Крок 1 — Параметр загасання κ

κ = √(2m(V₀−E)/ℏ²) = √(2×9,11×10⁻³¹×3×1,6×10⁻¹⁹ / (1,055×10⁻³⁴)²)

κ = √(8,73×10⁻³⁰ / 1,113×10⁻⁶⁸) = √(7,84×10³⁸) ≈ 8,85×10⁹ м⁻¹

Крок 2 — Показник загасання

κ·a = 8,85×10⁹ × 0,5×10⁻⁹ = 4,43

Крок 3 — Коефіцієнт пропускання

T ≈ e^(−2κa) = e^(−2×4,43) = e^(−8,86) ≈ 1,42×10⁻⁴

~0,014% частинок «тунелюють» крізь бар'єр. Для a=1 нм: T ≈ e^(−17,7) ≈ 2×10⁻⁸ — тунелювання різко слабне з товщиною.

Відповідь: κ ≈ 8,85×10⁹ м⁻¹; T ≈ 1,4×10⁻⁴ (≈0,014%). Застосування: тунельний мікроскоп (STM), α-розпад, діоди Есакі, флеш-пам'ять.

Задачі: СТВ Задачі: Електродинаміка Тест: Квантова механіка Курс: КМ ↩ Всі задачі

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з квантова механіка демонструються на цій сторінці?

Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Квантова механіка': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.

Якого рівня складності задачі з квантова механіка представлені?

Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.

Як вчитися на розв'язаних задачах з квантова механіка найефективніше?

Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.

Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?

Так, кожен розв'язок квантова механіка містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.

Як ці задачі з квантова механіка допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?

Розв'язані задачі з 'Квантова механіка' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

Квантова механіка: розв'язані задачі

Методика розв'язання

Як вчитися на прикладах

Часті запитання (FAQ)

🔗 Також за темою