є: коефіцієнти рядів, ряди для прямокутної хвилі, теорема Парсеваля, ДПФ та FFT, спектральна ширина. 10 запитань з поясненнями.">
📊 Тест • Математичний аналіз
Тест з аналізу Фур'є
10 запитань: ряди Фур'є, спектри, теорема Парсеваля, ДПФ та FFT
Запитання 1
Який вираз задає коефіцієнти bₙ тригонометричного ряду Фур'є для f(x) з T=2π?
А bₙ = (1/π)·∫₀^{2π} f(x)·cos(nx)dx
Б bₙ = (1/π)·∫_{−π}^{π} f(x)·sin(nx)dx
В bₙ = (2/π)·∫₀^{π} f(x)·cos(nx)dx
Г bₙ = cₙ − c_{−n}
Коефіцієнти синусів bₙ = (1/π)·∫_{−π}^{π} f(x)·sin(nx)dx. Множник 1/π (а не 2/π), бо інтегрування по всьому периоду [-π, π]. Якщо f — непарна: bₙ = (2/π)·∫₀^π f·sin(nx)dx.
Запитання 2
Ряд Фур'є НЕПАРНОЇ функції f(x) на [−π, π] містить:
А Тільки косинусні члени (парна частина)
Б Тільки sinусні члени (непарна частина)
В І sinусні, і косинусні члени
Г Тільки постійну складову a₀/2
Для непарної f(x): f(−x) = −f(x). Тоді f·cos(nx) — непарна, інтеграл по [-π,π] = 0. Отже aₙ = 0. Лишаються тільки bₙ≠0 (sinусні).
Запитання 3
Ряд Фур'є прямокутної хвилі (= 1 при 0<x<π, = −1 при −π<x<0) дорівнює:
А (2/π)·Σ cos((2k+1)x)/(2k+1)
Б (4/π)·[sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ...]
В (4/π)·[sin(x) + sin(2x)/2 + sin(3x)/3 + ...]
Г (2/π)·[1 − cos(2x)/3 + cos(4x)/5 − ...]
Прямокутна хвиля (непарна) → тільки sinуси. bₙ = (4/πn) для непарних n, bₙ=0 для парних. Ряд: (4/π)·Σ_{k=0}^∞ sin((2k+1)x)/(2k+1).
Запитання 4
Рівність Парсеваля для f(x) на [−π, π] стверджує, що:
А Сума всіх коефіцієнтів Фур'є дорівнює нулю
Б f(0) = a₀/2 + Σaₙ
В (1/π)·∫ |f|²dx = a₀²/2 + Σ(aₙ²+bₙ²)
Г Ряд збігається рівномірно при f неперервній
Теорема Парсеваля: ||f||²/π = a₀²/2 + Σ(aₙ²+bₙ²). Норма функції = сума квадратів коефіцієнтів. Наслідок: Σ 1/n² = π²/6, застосовуючи до f(x)=x.
Запитання 5
Для якого ряду Парсеваля виходить формула Ейлера: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = π²/6?
А Ряд Фур'є для f(x) = 1 (константа)
Б Ряд Фур'є для f(x) = x
В Ряд Фур'є для f(x) = |x|
Г Ряд Фур'є для f(x) = x²
Для f(x)=x: bₙ = 2(−1)^{n+1}/n. Парсеваль: 2π²/3 = 4·Σ1/n² → Σ1/n² = π²/6. Для f(x)=x² також виходить, але через aₙ = 4(−1)ⁿ/n².
Запитання 6
Комплексний ряд Фур'є записується як f(x) = Σ cₙ·e^{inx}. Як пов'язані cₙ та c_{−n} для ДІЙСНОЇ f?
А cₙ = c_{−n}
Б cₙ = c*_{−n} (комплексно спряжені)
В cₙ = −c_{−n}
Г cₙ та c_{−n} незалежні
Для дійсної f: f = f*. Звідси cₙ = (1/2π)∫f·e^{−inx}dx = [(1/2π)∫f·e^{inx}dx]* = c*_{−n}. Тому |cₙ| = |c_{−n}| — амплітудний спектр симетричний.
Запитання 7
Ширина головної пелюстки синк-функції (sinc) для прямокутного імпульсу тривалістю τ секунд дорівнює:
А τ Гц
Б 2/τ Гц
В π/τ Гц
Г 1/(2τ) Гц
Спектр прямокутного імпульсу: X(f) = A·τ·sinc(πfτ). Нулі при fτ=±k → f=±1/τ. Ширина головної пелюстки = 2/τ Гц. Принцип невизначеності: τ·Δf = 2.
Запитання 8
Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) від N точок має обчислювальну складність:
А O(N)
Б O(N·log₂N) — для FFT
В O(N²) для прямого ДПФ; O(N·log₂N) для FFT
Г O(log₂N)
Прямий ДПФ: O(N²) — N точок × N операцій кожна. FFT (Кулі-Тюкі, 1965): O(N·log₂N). Для N=1024: пряме ~10⁶, FFT ~10⁴ операцій — 100x прискорення.
Запитання 9
Теорема Найквіста-Шеннона стверджує: для точної реконструкції аналогового сигналу з частотою max F_max потрібна частота дискретизації:
А f_s = F_max
Б f_s = F_max / 2
В f_s ≥ 2·F_max
Г f_s ≥ 4·F_max
Теорема Найквіста: f_s ≥ 2·F_max. Наприклад, аудіо до 20 кГц → f_s ≥ 40 кГц. CD: 44100 Гц. При f_s < 2F_max виникає аліасинг — перекриття спектрів.
Запитання 10
Яка з функцій є ВЛАСНОЮ функцією лінійної системи з постійними коефіцієнтами (LTI)?
А Δ(t) — дельта-функція Дірака
Б rect(t) — прямокутний імпульс
В e^{jωt} — комплексна синусоїда
Г u(t) — одинична сходинка
Для LTI-системи з h(t): якщо x=e^{jωt}, то y = e^{jωt}·H(jω) — вихід є тим самим сигналом, лише змноженим на H(jω) (власне значення). Це і є власна функція. Ряди Фур'є — розклад по власних функціях LTI.
Цей тест перевіряє розуміння ключових концепцій теми. Питання складені так, щоб виявити прогалини у знаннях і спрямувати вас до матеріалів для повторення.
Як підготуватися до тесту
Пройдіть тест до вивчення теми — щоб зрозуміти, що ви вже знаєте. Потім повторіть матеріал і пройдіть знову. Порівняйте результати — це покаже ефективність підготовки.
Часті запитання (FAQ)
Який матеріал перевіряє тест з аналізу фур'є?
Тест охоплює ключові концепції теми 'аналізу Фур'є': означення, теореми, методи обчислень та вміння застосовувати знання до конкретних задач. Питання вибрані так, щоб виявити як теоретичне розуміння, так і практичні навички.
Скільки питань у тесті з аналізу фур'є і яка структура?
Тест з 'аналізу Фур'є' включає питання різного типу: одиночний вибір, множинний вибір та числові відповіді. Структура відповідає стандартним університетським тестам, що робить підготовку максимально реалістичною.
Як підготуватися до тесту з аналізу фур'є?
Оптимальна підготовка до тесту з 'аналізу Фур'є': вивчіть теоретичний матеріал за шпаргалкою → пройдіть тренажер вправ → ознайомтеся з розв'язаними задачами → пройдіть пробний тест → проаналізуйте помилки → повторіть слабкі місця.
Чи можна пройти тест з аналізу фур'є кілька разів?
Так, тест з 'аналізу Фур'є' можна проходити необмежену кількість разів. Рекомендуємо: пройдіть до вивчення теми (базовий рівень), потім після — щоб виміряти прогрес. Порівняння результатів мотивує та показує ефективність навчання.
Де можна попрактикуватися перед тестом з аналізу фур'є?
Перед тестом з 'аналізу Фур'є' рекомендуємо: тренажер вправ (інтерактивні задачі з поясненнями), розв'язані задачі (показують метод вирішення) та шпаргалку (швидкий довідник формул) — все доступно безкоштовно на calculator.party.