⚛️ Фізика • Тверде тіло

Фізика твердого тіла — розв'язані задачі

6 задач: дифракція Брегга, енергія Фермі, модель Друде, ефект Хола, напівпровідники, теплоємність Дебая

🔬 Кристалічна структура

Задача 1 Дифракція Брегга — визначення міжплощинної відстані

Рентгенівський промінь з довжиною хвилі λ = 0,154 нм (K_α Cu) падає на монокристал NaCl. Дифракційний максимум першого порядку (n = 1) спостерігається при куті ковзання θ = 13,7°. Знайдіть міжплощинну відстань d для площини відбиття.

Закон Брегга (формула Вульфа-Брегга)

nλ = 2d · sin θ

Виражаємо d і підставляємо

d = nλ / (2 · sin θ) = 1 · 0,154 / (2 · sin 13,7°)

sin 13,7° ≈ 0,2368

d = 0,154 / (2 · 0,2368) = 0,154 / 0,4736 ≈ 0,325 нм

Для NaCl кубічна структура з a = 0,564 нм. Площина (100) має d₁₀₀ = a = 0,564 нм, площина (110) — d₁₁₀ = a/√2 ≈ 0,399 нм, площина (200) — d₂₀₀ = a/2 = 0,282 нм. Отримане d ≈ 0,325 нм відповідає площині (111): d₁₁₁ = a/√3 ≈ 0,326 нм ✓

Відповідь

d ≈ 0,325 нм (площина (111) кристалу NaCl)

⚡ Електронний газ і теорія зон

Задача 2 Енергія Фермі вільних електронів у міді

Мідь (Cu): молярна маса M = 63,5 г/моль, густина ρ = 8930 кг/м³, валентність Z = 1. Знайдіть енергію Фермі E_F при T = 0 К і відповідну температуру Фермі T_F.

Концентрація електронів провідності

n = Z · N_A · ρ / M = 1 · 6,022·10²³ · 8930 / 0,0635

n ≈ 8,46 × 10²⁸ м⁻³

Енергія Фермі при T = 0 (3D газ Фермі)

E_F = (ℏ²/2m_e) · (3π²n)^(2/3)

ℏ = 1,055·10⁻³⁴ Дж·с; m_e = 9,11·10⁻³¹ кг

(3π²n)^(2/3) = (3 · 9,87 · 8,46·10²⁸)^(2/3)

= (2,506·10³⁰)^(2/3) ≈ 1,751·10²⁰ м⁻²

E_F = (1,055·10⁻³⁴)² / (2 · 9,11·10⁻³¹) · 1,751·10²⁰

= 6,09·10⁻¹⁹ / (1,822·10⁻³⁰) · ... ≈ 1,125·10⁻¹⁸ Дж ≈ 7,02 еВ

Температура Фермі

T_F = E_F / k_B = 7,02 · 1,6·10⁻¹⁹ / 1,38·10⁻²³

T_F ≈ 81 500 К ≈ 8,15 × 10⁴ К

🔑 Оскільки T_F ≫ T_кімн ≈ 300 К, електрони Cu «вироджені» — класична статистика для них непридатна.

Відповідь

E_F ≈ 7,02 еВ; T_F ≈ 81 500 К (дуже виродженний газ)

Задача 3 Модель Друде — питомий опір металу

Для міді середній час вільного пробігу τ = 2,5×10⁻¹⁴ с. Концентрація електронів n = 8,46×10²⁸ м⁻³. Обчисліть питому провідність σ і питомий опір ρ за моделлю Друде.

Формула Друде для провідності

σ = n · e² · τ / m_e

Підставляємо значення

σ = 8,46·10²⁸ · (1,6·10⁻¹⁹)² · 2,5·10⁻¹⁴ / 9,11·10⁻³¹

= 8,46·10²⁸ · 2,56·10⁻³⁸ · 2,5·10⁻¹⁴ / 9,11·10⁻³¹

= 8,46·10²⁸ · 6,4·10⁻⁵² / 9,11·10⁻³¹

= 5,41·10⁻²³ / 9,11·10⁻³¹ ≈ 5,94 × 10⁷ См/м

Питомий опір

ρ_el = 1/σ = 1 / 5,94·10⁷ ≈ 1,68 × 10⁻⁸ Ом·м = 1,68 мкОм·см

✓ Табличне значення ρ(Cu, 20°C) = 1,72×10⁻⁸ Ом·м — збіг чудовий!

Відповідь

σ ≈ 5,94×10⁷ См/м; ρ ≈ 1,68×10⁻⁸ Ом·м (збігається з табличним)

🧲 Ефект Хола

Задача 4 Стала Хола та визначення знаку носіїв

Пластина германію (p-тип) шириною b = 5 мм і товщиною d = 0,5 мм поміщена у поле B = 0,5 Тл (⊥ пластині). Струм I = 20 мА. Виміряна напруга Хола U_H = +24 мВ. Знайдіть постійну Хола R_H і концентрацію дірок p.

Постійна Хола (з вимірювання)

U_H = R_H · (I · B) / d ⟹ R_H = U_H · d / (I · B)

R_H = 0,024 · 0,5·10⁻³ / (0,020 · 0,5)

R_H = 1,2·10⁻⁵ / 0,01 = 1,2 × 10⁻³ м³/Кл = 1200 см³/Кл

Концентрація носіїв (R_H = 1/pe — для «чистого» p-типу)

p = 1 / (e · R_H) = 1 / (1,6·10⁻¹⁹ · 1,2·10⁻³)

p ≈ 5,2 × 10²¹ м⁻³ = 5,2 × 10¹⁵ см⁻³

Знак U_H > 0 при обраній геометрії підтверджує p-тип провідності (дірки відхиляються у той самий бік, що й струм).

Відповідь

R_H = 1,2×10⁻³ м³/Кл; p ≈ 5,2×10²¹ м⁻³ (p-тип, дірки)

💡 Напівпровідники

Задача 5 Власна провідність кремнію при T = 300 К

Кремній: ширина забороненої зони E_g = 1,12 еВ; рухливість електронів μ_n = 0,135 м²/(В·с), рухливість дірок μ_p = 0,048 м²/(В·с); ефективні густини станів N_c = 2,82×10²⁵ м⁻³, N_v = 1,83×10²⁵ м⁻³ при T = 300 К. Обчисліть власну концентрацію n_i і питому провідність σ.

Власна концентрація носіїв

n_i = √(N_c · N_v) · exp(−E_g / 2kT)

kT = 1,38·10⁻²³ · 300 = 4,14·10⁻²¹ Дж = 0,02585 еВ

E_g / 2kT = 1,12 / (2 · 0,02585) = 1,12 / 0,0517 ≈ 21,66

√(N_c · N_v) = √(2,82·10²⁵ · 1,83·10²⁵) = √(5,16·10⁵⁰) ≈ 2,27·10²⁵ м⁻³

n_i = 2,27·10²⁵ · exp(−21,66) ≈ 2,27·10²⁵ · 3,92·10⁻¹⁰

n_i ≈ 8,9 × 10¹⁵ м⁻³ ≈ 8,9 × 10⁹ см⁻³

Питома провідність (n_i = p_i)

σ = n_i · e · (μ_n + μ_p)

σ = 8,9·10¹⁵ · 1,6·10⁻¹⁹ · (0,135 + 0,048)

σ = 8,9·10¹⁵ · 1,6·10⁻¹⁹ · 0,183 ≈ 2,6 × 10⁻⁴ (Ом·м)⁻¹

Табличне n_i(Si, 300K) ≈ 1,5×10¹⁰ см⁻³ — розбіжність через наближення в ефективних масах. Результат правильного порядку.

Відповідь

n_i ≈ 9×10¹⁵ м⁻³; σ ≈ 2,6×10⁻⁴ (Ом·м)⁻¹ (власний Si, 300 К)

🌡️ Теплові властивості

Задача 6 Теплоємність Дебая при низьких температурах

Температура Дебая міді θ_D = 343 К. Обчисліть молярну теплоємність Cu при T = 30 К, використовуючи кубічний закон Дебая (T ≪ θ_D). Порівняйте з класичним значенням 3R.

Закон T³ Дебая (T ≪ θ_D)

C_V = (12π⁴/5) · R · (T/θ_D)³

= (12 · 97,41 / 5) · 8,314 · (30/343)³

= 233,79 · 8,314 · (0,08746)³

= 1943 · 6,68·10⁻⁴ ≈ 1,30 Дж/(моль·К)

Класична теплоємність Дюлонга-Пті

C_класична = 3R = 3 · 8,314 ≈ 24,94 Дж/(моль·К)

При 30 К реальна теплоємність Cu ≈ 1,3 Дж/(моль·К), що у ~19 разів менше класичного значення 24,94 Дж/(моль·К). Тільки при T > θ_D / 3 ~ 100 К теплоємність наближається до 3R.

Відповідь

C_V(30 К) ≈ 1,30 Дж/(моль·К); у 19 разів менше від 3R = 24,94 Дж/(моль·К)

⚡ Електродинаміка 🧲 Магнетизм ⚛️ Квантова механіка 🌡️ Термодинаміка 📚 Усі задачі

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з фізика твердого тіла демонструються на цій сторінці?

Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Фізика твердого тіла': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.

Якого рівня складності задачі з фізика твердого тіла представлені?

Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.

Як вчитися на розв'язаних задачах з фізика твердого тіла найефективніше?

Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.

Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?

Так, кожен розв'язок фізика твердого тіла містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.

Як ці задачі з фізика твердого тіла допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?

Розв'язані задачі з 'Фізика твердого тіла' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор теорії поля 🧮 Калькулятор медичної фізики 💪 Фізика Твердого Тіла — Зонна теорія, Напівпровідники, Кристали 💪 Фізика прискорювачів — тренажер 📖 Математична фізика: рівняння Максвелла, Шредінгера, хвильове рівняння, теплопровідність 📖 Як використовувати наукові калькулятори для фізичних обчислень 📐 Формули ядерної фізики: закон розпаду, енергія зв'язку, Q-значення, активність